数学基础：复数、线性代数与计算复杂性

### 数学基础：复数、线性代数与计算复杂度 #### 1. 复数的奥秘 复数是形如 $a + bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，且 $i^2 = -1$。操作复数十分直接，加法规则为 $(a + bi) + (x + yi) = (a + x) + (b + y)i$，乘法规则为 $(a + bi) \cdot (x + yi) = (ax - by) + (ay + bx)i$。当 $b = 0$ 时，$a(x + yi) = ax + (ay)i$。 对于任意复数 $z = a + bi$，其实部 $Re z = a$，虚部 $Im z = b$，可在二维平面表示为向量 $(a, b)$，其模为 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。复数 $z$ 的共轭为 $z^* = a - bi$，且 $|z|^2 = zz^*$，这表明 $zz^*$ 总是非负实数。 著名的欧拉恒等式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ 展示了复数与三角函数的美妙联系。由此可得，对于任意实数 $a$ 和 $b$，$e^{(a + ib)} = e^ae^{ib} = e^a(\cos \theta + i\sin \theta)$。 复数还有一些有趣的特性： - 每个 $n$ 次复系数多项式恰好有 $n$ 个根（考虑重数）。 - 任何复可微函数 $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 都是光滑且解析的。 #### 2. 线性代数的基石 线性代数是数学的重要分支，下面我们来了解其核心概念。 ##### 2.1 向量空间 设 $\mathbb{F}$ 为实数或复数集。$\mathbb{F}$ - 向量空间 $V$ 是一个集合，配有“加法”函数（通常用 $+$ 表示）和“数乘”函数。加法需满足： - 加法结合律：$(v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)$ - 加法交换律：$v_1 + v_2 = v_2 + v_1$ - 加法单位元：存在 $0 \in V$，使得对于任意 $v \in V$，$v + 0 = v$ - 加法逆元：对于任意 $v_1 \in V$，存在 $-v_1 \in V$，使得 $v_1 + (-v_1) = 0$ 数乘需满足： - 数乘与 $\mathbb{F}$ 中乘法的相容性：$(\alpha_1 \cdot \alpha_2) \cdot v_1 = \alpha_1 \cdot (\alpha_2 \cdot v_1)$ - 关于向量加法的分配律：$\alpha_1(v_1 + v_2) = \alpha_1v_1 + \alpha_1v_2$ - 关于数加法的分配律：$(\alpha_1 + \alpha_2)v_1 = \alpha_1v_1 + \alpha_2v_1$ - 数乘单位元：$1 \cdot v_1 = v_1$ 常见的向量空间例子有： - 实数集 $\mathbb{R}$ 关于普通加法和乘法是实向量空间。 - 复数集 $\mathbb{C}$ 关于复数加法和乘法是复向量空间，限制数乘为复数与实数相乘时，可变为实向量空间。 - $\mathbb{R}^n$ 关于通常的分量加法和实数数乘是向量空间，当 $n = 2, 3$ 时对应常见的箭头向量。 - $\mathbb{C}^n$ 关于分量加法和复数数乘是向量空间。 - 实数闭有限区间上的所有光滑函数集是向量空间。 ##### 2.2 基与坐标 一些 $\mathbb{F}$ - 向量空间 $V$ 是有限维的，意味着存在有限向量组 $\{v_1, \ldots, v_n\} \subseteq V$，对于任意 $v \in V$，存在唯一的标量 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{F}$，使得 $v = \alpha_1v_1 + \cdots + \alpha_nv_n$。这些标量 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 是 $v$ 关于基 $\{v_1, \ldots, v_n\}$ 的坐标，$n$ 是向量空间的维数。 例如，$\mathbb{C}^3$ 或 $\mathbb{R}^3$ 的一个基是 $\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$，称为规范基，通常记为 $\{e_1, e_2, e_3\}$。向量 $(i, 3 + 2i, -2)$ 在规范基下的坐标可表示为列矩阵 $\begin{pmatrix} i \\ 3 + 2i \\ -2 \end{pmatrix}$。需要注意的是，向量的坐标列矩阵总是相对于某个基定义的，基的顺序很重要