分布式距离预言机的时间下界分析

### 分布式距离预言机的时间下界分析 在分布式系统中，距离预言机是一种用于快速查询图中节点间距离的重要工具。本文将围绕分布式距离预言机的时间下界展开深入探讨，涵盖了不同类型图（无权重图、有权重图）以及不同标签大小预言机的情况。 #### 1. 小工具构造 为了证明分布式距离预言机的时间下界，核心方法是从大围长图上的图形集不相交问题进行归约。我们构造一个图 $\Gamma_{H,\gamma}(F_a, F_b)$ 来实现这个归约，具体步骤如下： 1. **节点集合**：节点集 $V$ 由两组各 $N$ 个节点组成，分别为 $W^a = \{w^a_0, w^a_1, \cdots, w^a_{N - 1}\}$ 和 $W^b = \{w^b_0, w^b_1, \cdots, w^b_{N - 1}\}$。 2. **内部簇路径**：对于任意 $i$（$0 \leq i \leq N - 1$），每对 $(w^a_i, w^b_i)$ 通过一条边相连，这条长度为 1 的路径称为内部簇路径。 3. **簇间路径**：当且仅当 $(w_i, w_j) \in F_a$（或 $(w_i, w_j) \in F_b$）时，每对 $(w^a_i, w^a_j) \in W^a$（或 $(w^b_i, w^b_j) \in W^b$）通过一条长度为 $\gamma$ 的路径相连，这条路径称为簇间路径。 这个图 $\Gamma_{H,\gamma}(F_a, F_b)$ 可以看作是图 $H' = (W, F_a \cup F_b)$ 的加权版本，每个边的权重为 $\gamma$。通过对这个构造，我们可以得到以下引理： - **引理 1**：设 $(F_a, F_b)$ 是图 $H = (W, F)$ 上的图形集不相交问题的一个实例，$H' = (W, F_a \cup F_b)$，$\Gamma = \Gamma_{H,\gamma}(F_a, F_b)$。对于任意整数 $k > 0$，有以下两个性质： - 若 $d_{H'}(w_i, w_j) = 1$（$i \neq j$），则 $d_{\Gamma}(w^a_i, w^a_j) \leq \gamma + 2$。 - 若 $d_{H'}(w_i, w_j) = k$（$k > 1$，$i \neq j$），则 $d_{\Gamma}(w^a_i, w^a_j) \geq k\gamma$。 #### 2. 主要定理及证明 我们利用围长猜想（Girth conjecture）来证明分布式算法构造距离预言机的时间下界。围长猜想指出：对于任意整数 $N$ 和 $t$，存在一个具有 $N$ 个节点和 $\Theta(N^{1 + 1/t})$ 条边的图 $H_{t,N}$，其围长至少为 $2t + 2$。 - **定理 2**：假设围长猜想对于某个常数 $t > 0$ 成立。设 $ALG$ 是一个构造拉伸因子为 $2t$ 的分布式距离预言机的分布式算法，那么其最坏情况下的运行时间 $\tau(n)$ 必须满足 $\tau(n) \geq \Omega(n^{1/(t + 1)} / \log n)$。 - **证明步骤**： 1. 从围长猜想中的图 $H_{t,N}$ 上的图形集不相交问题进行归约，构造一个双方协议来解决该问题。 2. Alice 模拟 $W^a$ 中的所有进程，Bob 模拟 $W^b$ 中的所有进程。为了使模拟进行，双方需要获取 $ALG$ 运行时内部簇路径上交换的消息，每一轮通过这些路径传输的信息最多为 $O(N \log n)$ 位。 3. 模拟完成后，Alice 通过查询 $w^a_i$ 的本地预言机来检查每对 $(w^a_i, w^a_j) \in F$ 的距离。根据引理 1，若 $(w^a_i, w^a_j) \in F_a \cup F_b$，则 $\Gamma$ 中 $w^a_i$ 和 $w^a_j$ 的距离最多为 $8t + 2$；若 $(w_i, w_j) \notin F_a \cup F_b$，则距离至少为 $8t(2t + 1)$。 4. Alice 根据查询结果判断 $(F_a, F_b)$ 是否不相交，若所有查询返回值最多为 $2t(8t + 2)$，则 $(F_a, F_b)$ 不相交，否则相交。最后 Alice 发送一位决策信息。 5. 该双方协议在最坏情况下总共消耗 $O(\tau(n)N \log n)$ 位，而 $H_{t,N}$ 上图形集不相交问题的通信复杂度下界为 $\Omega(N^{1 + 1/t})$ 位。通过变量替换，将 $N$ 用 $n$ 和 $t$ 表示，最终得到 $\tau(n) = \Omega(n^{1/(t + 1)} / \log n)$。 以下是上述构造过程的 mermaid 流程图： ```mermaid graph TD; A[开始] --> B[准备节点集合 W^a 和 W^b]; B --> C[添加内部簇路径]; C --> D[添加簇间路径]; D --> E[模拟 ALG 运行]; E --> F[Alice 查询距离]; ```