量子计算中的信息容错与加密技术

# 量子计算中的信息容错与加密技术 ## 1. 量子计算中的信息容错 ### 1.1 容错测量 在量子计算中，容错测量是确保计算准确性的关键。当 $M$ 为厄米且酉矩阵时，可借助特定电路进行间接测量。但这种架构并非容错的，因为辅助量子比特的缺陷可能影响所有 $n$ 个量子比特。为实现容错设计，可采用猫态下的容错现象测量。 对于 $n$ 量子比特猫态用于容错创建，需满足电磁学中容错纠错（EC）的精确要求。若不满足，需验证并销毁该状态。若 $M$ 受猫态良好控制，则可作为能容忍故障的明确指示。若 $M$ 能用横向算子实现，通过操纵相应猫态量子比特，确保所有单量子比特算子都运行或都不运行，就能轻松构建可控变体。 ### 1.2 状态准备 通过找到一个既易于实现又容错的廉价测量算子 $M$，可创建容错状态。在每个容错构建且不与 $|a\rangle$ 垂直的状态中，生成 $|a\rangle$ 的概率为正。若测量结果不准确，可使用容错门将错误获取的本征态转换为理想态，此过程可一直持续直至达到目标。 从算子的基本见解出发，可实现该状态的廉价且容错的实施。$PXP^{-1}$ 的本征向量也具有特征值 $1$ 和 $-1$，这与 $X$ 具有特征值 $1$ 和 $-1$ 的本征向量 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ 一致。虽然 $\pi/4$ 是某个算子的本征态这一事实乍看无关紧要，但通过对易关系可知： $M = P_{\pi/4}X P^{-1}_{\pi/4} = e^{-i \pi/4} P_{\pi/2}X$ 我们熟悉 $P_{\pi/2}$ 和 $X$ 的容错实现。为实现测量指示，无需设计这些门的完全受控实现，只需由猫态充分控制以执行测量系统。 在测量函数中，通过以下步骤可获得 $M$ 的间接测量逻辑模拟： 1. 在每对相关猫态和辅助量子比特之间执行七个受控 $P_{\pi/2}X$ 门。 2. 执行一个受控相位门，完成 $P_{\pi/2}X$ 实现。 3. 拆解猫态结构，以常规方式测量剩余量子比特。若测量结果为 $0$，可达到所需状态；若测量值为 $1$，应用 $Z$ 算子可得预期状态。 以下为各步骤电路操作的状态变化： - Cnot 操作和 Hadamard 变换产生状态： $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle^{\otimes 7}|\tilde{\psi}\rangle + |1\rangle^{\otimes 7} \tilde{M}|\tilde{\psi}\rangle)$ - 六个 Cnot 操作后得到状态： $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle^{\otimes 7}|\tilde{\psi}\rangle + |1\rangle|0\rangle^{\otimes 6} \tilde{M}|\tilde{\psi}\rangle)$ - 应用猫态控制的 $\tilde{M}$，拆解猫态构造并测量猫态寄存器的第一个量子比特，可得到 $|\pi/\sim 4\rangle$ 或 $P_{\pi/2} | -\rangle$，若为后者，应用 $\tilde{Z}$ 算子可得 $|\pi/\sim 4\rangle$。 - 最终 Hadamard 变换得到状态： $\frac{1}{2}(|+\rangle|0\rangle^{\otimes 6} |\tilde{\psi}\rangle + |-\rangle|0\rangle^{\otimes 6} \tilde{M} |\tilde{\psi}\rangle)$ 等同于 $\frac{1}{2\sqrt{2}}(|0\rangle|0\rangle^{\otimes 6}(|\tilde{\psi}\rangle + \tilde{M}|\tilde{\psi}\rangle) + |1\rangle|0\rangle^{\otimes 6}(|\tilde{\psi}\rangle - \tilde{M}|\tilde{\psi}\rangle))$ 当第一个量子比特按一致时间表评估时，可获得 $M$ 的一个特征值。 ### 1.3 量子计算强度 #### 1.3.1 组合编码 为便于讨论，将 $Q_0$ 视为时间分离的电路，期望成功率为 $1$ 或更高。$Q_{i + 1}$ 需使用 Steane 码对其量子比特进行编码，$Q_i$ 的门逻辑需由容错逻辑等效物替代，并在每个存在模式的逻辑等效物之后进行纠错（EC）。 电路 $Q_i$ 由初始 $Q_0$ 通过一系列级联编码操作派生而来。这里的级联发生在两个不同层次：与最终逻辑量子比特等效的块中的错误发生频率低于七个量子比特块中的错误，且两种块都需要纠错。这种分层纠错允许仅用二次数量的资源（量子比特和门）实现指数级高的弹性。 从错误纠正码的角度看，可将其视为一个组件集合，只有当出现两个或