自优化连续体计算与热传导优化研究

### 自优化连续体计算与热传导优化研究 #### 1. 自优化连续体计算 在自优化连续体计算中，会面临一些数值计算的难题，像离散化时中间密度可能引发棋盘格不稳定性以及解的网格依赖性等问题。为了克服这些难题，采用了基于密度滤波的方法。在计算力学特性时，用滤波后的密度 $\rho$ 替代原本的密度。滤波操作就是对相邻单元进行加权平均。 下面给出该算法的伪代码： ```plaintext Input: 有限元模型; 边界条件; 积分点的位置; 迭代次数 N; 杨氏模量 E, 泊松比 ν; 使用用户子程序 UEXTERNALDB 的特定参数: 初始密度分布, 应力迹的临界值 σc, 每个时间步 ρi 的增量函数 θ, 惩罚幂 p, 滤波半径 R. Output: 每个迭代步骤的密度分布 ρn Do n = 1 to N 使用用户子程序 USDFLD 通过 (21.12) 设置杨氏模量 使用 Abaqus 求解器计算应力 - 应变分布 使用用户子程序 URDFIL 和可分配数组访问应力结果 通过 (21.13) 计算 ρi n+1 并进行滤波 end do ``` 具体参数设置如下： - 有限元模型为 200 × 100 × 1 个单元。 - 采用 C3D8R 类型的立方体线性六面体单元，边长为单位长度，每个单元有一个积分点。 - 砂岩的力学性能参数：E = 10 GPa，ν = 0.3，D = 2000 kg/m³，σc = 1.5 MPa。 - $\rho_i$ 的最大值 $\rho_{max} = 1$，最小值 $\rho_{min} = 0.01$。 - 惩罚幂 p = 2，增量参数 θ = 0.3，滤波半径 R = 1.42。 逻辑变量方面，输入逻辑变量为 x 和 y，输出逻辑变量为 z，它们取值为 0（False）和 1（True）。模拟材料的输入刺激位点为 $I_x$ 和 $I_y$（输入），O、$O_1$、$O_2$（输出），位点处的力表示为 $F_{I_x}$、$F_{I_y}$。逻辑值由力来表示，例如 $x = 1$ 时 $F_{I_x} = 32 MN$，$x = 0$ 时 $F_{I_x} = 0$，y 同理。 在不同逻辑门的实现中： - **与门（AND Gate）**：输入位点 $I_x$ 和 $I_y$ 位于模型顶部，输出位点 O 位于模型垂直对称轴上。当 $x = 0$ 且 $y = 0$ 时，仅受重力作用，结构完全被侵蚀，输出位点的密度最小，逻辑输出为 0；当 $x = 0$ 且 $y = 1$ 时，最大密度区域连接 $I_y$ 和 D，输出位点无材料形成，输出为 0；当 $x = 1$ 且 $y = 1$ 时，最大密度区域连接 $I_y$ 和 $I_x$，输出位点密度最大，逻辑输出为 1。 - **异或门（XOR Gate）**：设计与与门类似，但输出位点 O 位置不同。当 $x = 1$ 且 $y = 1$ 时，最大密度区域沿 $(I_x, I_y)$ 路径形成，与对称轴交点位于输出位点 O 上方，输出位点密度最小，逻辑输出为 0。 - **一位半加器（One - bit Half - adder）**：结合了与门和异或门的设计，将与门原输出设为 $O_1$，异或门原输出设为 $O_2$。当只有一个输入为 1，另一个为 0 时，$O_1$ 和 $O_2$ 的密度会分别呈现最小和最大，对应不同的逻辑输出。 以下是不同实现中各点之间的距离表格： | 实现类型 | $(I_x, I_y)$ | $(A, O_1)$ | $(O_1, B)$ | $(S, O_2)$ | $(D, E)$ | $(E, F)$ | $(F, C)$ | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | 一位半加器 | 100 | 35 | 50 | 50 | 30 | 40 | 30 | | 与门 | 68 | 66 | 66 | 10 | - | - | - | | 异或门 | 68 | 66 | 66 | - | - | - | - | #### 2. 热传导优化 热传导问题中，考虑空间区域 $\Omega$，其边界 $\Gamma = \Gamma_D \cup \Gamma_N$，$\Gamma_D \cap \Gamma_N = \varnothing$，分别用于设置狄利克雷（D）和诺伊曼（N）边界条件。稳态热传导方程如下： $\nabla \cdot (k \nabla T) + f = 0$ in $\Omega$ $T = T_0$ on $\Gamma_D$ $(k \nabla T) \cdot n = Q_N$ on $\Gamma_N$ 其中，T 是温度，k 是热传导系数，f 是体积热源，n 是向外单位法向量。 拓扑优化问题的目标是找到有限质量的导电材料 M 的最优分布，以最小化热释放，即最小化成本函数： $Minimize C(\rho) = \int_{\Omega} (k(\rho) \nabla T) \cdot \nabla T d\Omega$ $Subject to \int_{\Omega} \rho d\Omega \leq M$ 根据 SIMP 方法，将研究区域划分为有限单元，每个单元 i 分配不同的材料密度 $\rho_i$。热传导系数与材料密度的关系由幂律描述： $k_i = k_{min} + (\rho_i)^p (k_{max} - k_{min})$ 为求解该问题，采用动态系统建模技术。假设 $\rho$ 依赖于类时间变量 t，考虑以下微分方程确定第 i 个有限单元的密度 $\rho_i$： $\rho_i' = \lambda \left( \frac{\rho_i}{V_i} \right) \left( pC_i(\rho_i