随机输入延迟非线性系统的预测控制

### 随机输入延迟非线性系统的预测控制 #### 1. 引言 时间延迟一直是重要的研究课题，因为它频繁出现且常对控制系统的性能产生限制。当延迟影响动态系统的输入时，像Smith预测器这类主动控制技术被开发出来以抵消这些限制。基于系统状态预测的有限频谱分配方法，旨在补偿闭环动态中的输入延迟并恢复无延迟时的标称性能。该技术最初用于恒定延迟情况，后来逐渐扩展到变时延迟、状态相关延迟、多延迟或加性干扰等更复杂的情况。 近年来，通信技术的发展使得应对传输延迟的需求愈发迫切。传输延迟通常由传输路径拥塞或路由算法变化导致，常被建模为随机变量。尽管近年来有很多关于随机延迟方程的研究，但延迟本身为随机变量的情况却很少被研究。 本文研究具有随机输入延迟的非线性系统的预测控制设计问题，将随机输入延迟建模为具有有限个值的马尔可夫过程。由于无法精确计算补偿输入延迟的状态预测（因为未来延迟值是随机且未知的），所以提出使用恒定预测时域。 #### 2. 问题陈述与控制设计 考虑如下可控非线性动态系统： \(\dot{X}(t) = f (X(t),U(t - D))\) 其中，\(X \in R^n\)和\(U \in R\)分别是状态和控制输入，\(f\)是\(C^1\)类非线性函数，且\(f (0, 0) = 0\)。随机延迟\(D\)是具有以下性质的马尔可夫过程： 1. \(D(t) \in \{D_i, i \in \{1, \ldots, r\}\}\)，\(r \in N\)，且\(0 < \underline{D} \leq D_1 < D_2 < \cdots < D_r \leq \overline{D}\)。 2. 转移概率\(P_{ij}(t_1, t_2)\)（量化从时间\(t_1\)的\(D_i\)切换到时间\(t_2\)的\(D_j\)的概率）是可微函数，满足\(\sum_{j = 1}^{r} P_{ij}(t_1, t_2) = 1\)，\((0 \leq t_1 \leq t_2)\)。 3. \(D\)的实现从右侧连续。 控制目标是采用基于预测的方法稳定该系统，通过鲁棒延迟补偿方法实现。在详细介绍控制设计之前，先对无延迟系统的特性进行进一步刻画。 **假设1**：存在\(C^1\)类反馈律\(\kappa\)，使得系统\(\dot{X} = f (X, \kappa(X))\)是指数稳定的，吸引域为\(A \subset R^n\)。即存在正定函数\(W : R^n \to R^+\)，对于所有紧集\(C \subset A\)，存在正常数\(\lambda\)、\(C_1\)、\(C_2\)和\(C_3\)，使得对于所有\(x \in C\)，有： \(\frac{dW}{dX} (X) f (X, \kappa(X)) \leq - \lambda|X|^2\) \(C_1|X|^2 \leq W(X) \leq C_2|X|^2\) \(\left|\frac{dW}{dX} (X)\right| \leq C_3|X|\) **假设2**：函数\(f (X, U)\)是全局Lipschitz的，即存在\(C_L > 0\)，使得对于\(\forall(u_1, u_2) \in R^2\)和\(\forall(X_1, X_2) \in (R^n)^2\)，有： \(| f (X_1, u_1) - f (X_2, u_2)| \leq C_L|(X_1, u_1) - (X_2, u_2)|\) **假设3**：假设1中定义的反馈律\(\kappa\)满足\(\kappa(0) = 0\)，且存在正常数\(C_4\)，使得\(\left|\frac{d\kappa}{dX}\right| \leq C_4\)。 控制律选择为： \(U(t) = \kappa(\hat{P}(t))\) 其中，预测器\(\hat{P}\)对于\(\theta \in [t - D_0, t]\)定义为： \(\hat{P}(\theta, t) = X(t) + \int_{t - D_0}^{\theta} f (\hat{P}(s, t), U(s))ds\)，\(t - D_0 \leq \theta \leq t\) 由于延迟的随机性，无法计算逆函数\(\varphi^{-1}(t)\)（如果存在），因此提出在控制器中使用恒定时间时域预测。 **定理1**：考虑由满足假设1 - 3的系统和控制律组成的闭环系统。设\(C\)是包含原点的\(A\)的紧集，则存在正常数\(\epsilon^{\star}\)和\(\rho^{\star}\)，如果： \(|D_0 - D_j| \leq \epsilon^{\star}\)，\(j \in \{1, \ldots, r\}\) 且\(\Upsilon(0) \leq \rho^{\star}\) 则存在正常数\(R\)和\(\gamma\)（与初始条件无关），使得： \(E_{[0, \Upsilon(0)]}(\Upsilon(t)) \leq R\Upsilon(0)e^{-\gamma t}\) 其中，\(\Upsilon(t) = |X(t)|^2 + \int_{t - \overline{D} - D_0}^{t} U(s)^2ds\) 条件\(|D_0 - D_j| \leq \epsilon^{\star}\)保证了在随机延迟情况下预测的准确性。该结果与确定性延迟情况下的延迟鲁棒性结果一致，并将其扩展到了随机环境。 #### 3. 延迟的PDE表示与反步变换 为了表示具有随机延迟的控制输入，定义分布式执行器向量\(v(x, t) = [v_1(x, t) \cdots v_k(x, t) \cdots v_r(x, t)]^T\)，其中\(v_k(x, t) = U(t + D_k(x - 1))\)。这使得系统可以重写为： \(\begin{cases} \dot{X}(t) = f (X(t), \delta(t)^T v(0, t)) \\ \mathcal{D}v_t(x, t) = v_x(x, t) \\ v(1, t) = U(t)\mathbf{1} \end{cases}\) 其中，\(\mathcal{D} = diag(D_1, \ldots, D_r)\)，\(\mathbf{1}\)是\(r\)维全1向量，\(\delta \in R^r\)满足：如果\(D(t) = D_j\)，则\(\delta(t) = e_j\)，即： \(\delta_i(t) = \begin{cases} 1, & \text{如果 } i = j \\ 0, & \text{否则} \end{cases}\) 引入\(\hat{v}(x, t)\)表示区间\([t - D_0, t]\)内的控制输入\(U(t)\)，以及相应的输入估计误差\(\tilde{v}(x, t) = v(x, t) - \hat{v}(x, t)\mathbf{1}\)。定义\(\mu(x, t) = U(t - D_0 + D(x - 1))\)表示区间\([t - D_0 - \overline{D}, t - D_0]\)内的控制器。扩展状态\((X(t), \hat{v}(x, t), \tilde{v}(x, t), \mu(x, t))\)满足： \(\begin{cases} \dot{X}(t) = f (X(t), \hat{v}(0, t) + \delta(t)^T \tilde{v}(0, t)) \\ D_0\hat{v}_t(x, t) = \hat{v}_x(x, t