量子计算中的双量子比特门与多量子比特控制门

### 量子计算中的双量子比特门与多量子比特控制门 #### 1. 双量子比特门基础 在量子计算中，双量子比特门是构建复杂量子电路的关键元素。首先来看一个量子电路的示例： ``` In[ ]:= qc = QuantumCircuit[sqrtSWAP, S[1, 3], sqrtSWAP, Rotation[Pi / 2, S[1, 3]], Rotation[-Pi / 2, S[2, 3], "Label" -> "Uz †"]] Out[ ]= U Z U Uz Uz † ``` 为了验证该电路是否实现了 CZ 门，我们可以查看其矩阵表示： ``` In[ ]:= Matrix[qc] // MatrixForm Out[ ]//MatrixForm= 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 +0 ``` #### 2. 受控酉门 受控酉门是双量子比特门中的重要类型。假设有两个量子比特，分别称为控制比特和目标比特，设 $\hat{U}$ 是作用在目标比特上的酉算子。受控 $\hat{U}$ 门是定义在双量子比特希尔伯特空间上的酉算子，其定义如下： - 数学定义： - 方式一：$Ctrl(\hat{U}) : |c\rangle\otimes|t\rangle\to|c\rangle\otimes\hat{U}^c |t\rangle$ - 方式二：$Ctrl(\hat{U}) := |0\rangle\langle0| \otimes\hat{I} + |1\rangle\langle1| \otimes\hat{U}$ - 矩阵表示： $Ctrl(\hat{U}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & U_{11} & U_{12} \\ 0 & 0 & U_{21} & U_{22} \end{bmatrix}$ 其中 $U$ 是 $\hat{U}$ 的矩阵表示。 在量子电路模型中，受控酉门的表示方式有特定的规则，连接到目标比特上量子电路元素的实心圆表示该元素的条件操作取决于控制比特的状态。 下面我们来看一个单量子比特旋转的例子，它是绕 y 轴旋转角度 $\theta$ 的操作： ``` In[ ]:= Let[theta = Real, U = Rotation[theta, S[2, 2], "Label" -> "U"]; U // Elaborate // Matrix // MatrixForm Out[ ]//MatrixForm= Cos[theta / 2] -Sin[theta / 2] Sin[theta / 2] Cos[theta / 2] ``` 这展示了受控 - U 门的情况： ``` In[ ]:= qc = QuantumCircuit[ControlledU[S[1], U]] Out[ ]= U ``` 该受控 - U 门操作的显式表达式（用泡利算子表示）为： ``` In[ ]:= op = Elaborate[qc] Out[ ]= Cos[theta / 4]^2 + S1^z Sin[theta / 4]^2 + 1 / 2 * S1^z S2^y Sin[theta / 2] - 1 / 2 * S2^y Sin[theta / 2] ``` 受控 - U 门对逻辑基态的映射如下表所示： | 输入基态 | 输出基态 | | --- | --- | | $|0S1 0S2\rangle$ | $|0S1\rangle\otimes|0S2\rangle$ | | $|0S1 1S2\rangle$ | $|0S1\rangle\otimes|1S2\rangle$ | | $|1S1 0S2\rangle$ | $|1S1\rangle\otimes\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|0S2\rangle + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|1S2\rangle\right)$ | | $|1S1 1S2\rangle$ | $|1S1\rangle\otimes\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|1S2\rangle - \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|0S2\rangle\right)$ | 当控制比特处于不同状态时，受控 - U 门的操作效果不同： - 当第一个量子比特设置为 $|0\rangle$ 时，它不进行任何操作： ``` In[ ]:= Let[Complex, c]; vec = Ket[] * c[0] + Ket[S[2] -> 1] * c[2]; LogicalForm[vec, S@{1, 2}] Out[ ]= c0 |0S1 0S2\rangle + c2 |0S1 1S2\rangle In[ ]:= new = op ** vec; LogicalForm[new, S@{1, 2}] Out[ ]= c0 |0S1 0S2\rangle + c2 |0S1 1S2\rangle ``` - 当控制比特（这里是第一个量子比特）设置为 $|1\rangle$ 时，它对第二个量子比特执行酉算子操作： ``` In[ ]:= vec = Ket[S[1] -> 1] ** (Ket[] * c[0] + Ket[S[2] -> 1] * c[2]); LogicalForm[vec, S@{1, 2}] Out[ ]= c0 |S1S012\rangle + c2 |S1SS12\rangle In[ ]:= new = op ** vec; LogicalForm[new, S@{1, 2}] Out[ ]= |1S1 1S2\rangle (c2 Cos[theta / 2] + c0 Sin[theta / 2]) + |1S1 0S2\rangle (c0 Cos[theta / 2] - c2 Sin[theta / 2]) ``` - 当控制比特处于叠加态时，通常会得到纠缠态： ``` In[ ]:= vec = Ket[] @ Ket[S[1] -> 1]; LogicalForm[vec, S+{1, 2}] Out[ ]= |0S1 0S2\rangle + |1S1 0S2\rangle In[ ]:= new = op ** vec; LogicalForm[new, S@{1, 2}] Out[ ]= |0S1 0S2\rangle + Cos[theta / 2] |1S1 0S2\rangle + Sin[theta / 2] |1S1 1S2\rangle ``` 受控酉算子的一个重要特性是，当目标比特处于 $\hat{U}$ 的本征态时，它会在控制比特上引入相对相移。例如，将控制比特制备在叠加态 $|\psi\rangle = |0\rangle + |1\rangle$，目标比特制备在 $\hat{U}$ 的本征态 $|u\rangle$，本征值为 $e^{i\varphi}$，则受控酉门会将状态变换为： $|\psi\rangle\otimes|u\rangle\to|0\rangle\otimes|u\rangle + |1\rangle\otimes\hat{U} |u\rangle = |0\rangle\otimes|u\rangle + |1\rangle\otimes|u\rangle e^{i\varphi} = \left(|0\rangle + |1\rangle e^{i\varphi}\right)\otimes|u\rangle$ #### 3. CNOT 门与受控酉门的组合应用 CNOT 门和受控酉门可以组合实现各种条件门操作。例如，考虑一个由 n 个量子比特的控制寄存器和一个单量子比特的目标寄存器组成的系统，若要仅当控制寄存器中奇数个量子比特处于 $|1\rangle$ 时，对目标比特执行酉门 $\hat{U}$ 操作，可按以下步骤实现： 1. 依次以控制寄存器中的前 $(n - 1)$ 个量子比特作为控制比特，最后一个量子比特作为目标比特，执行 CNOT 门操作，将第 n 个量子比特变换为 $|c_1 \oplus \cdots \oplus c_n\rangle$。 2. 应用由第 n 个量子比特控制的受控 $\hat{U}$ 门。 3. 按相反顺序执行 CNOT 门操作，将控制比特恢复到原始状态。 以下是 $n = 3$ 时的量子电路示例： ``` In[ ]:= $n = 3; cc = Table[CNOT[S[j], S[$n]], {j, 1, $n - 1}]; op = Rotation[theta, S[$n + 1, 2]]; cU = ControlledU[S[$n], op]; qc = QuantumCircuit[Sequence @@ Flatten@{cc, cU, Reverse@cc}] Out[ ]= Uy ``` 该量子电路对逻辑基态的映射如下（仅展示前 5 个）： | 输入基态 | 输出基态 | | --- | --- | | $|0S1 0S2 0S3 0S4\rangle$ | $|0S1 0S2 0S3\rangle\otimes|0S4\rangle$ | | $|0S1 0S2 0S3 1S4\rangle$ | $|0S1 0S2 0S3\rangle\otimes|1S4\rangle$ | | $|0S1 0S2 1S3 0S4\rangle$ | $|0S1 0S2 1S3\rangle\otimes\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|0S4\rangle + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|1S4\rangle\right)$ | | $|0S1 0S2 1S3 1S4\rangle$ | $|0S1 0S2 1S3\rangle\otimes\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|1S4\rangle - \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|0S4\rangle\right)$ | | $|0S1 1S2 0S3 0S4\rangle$ | $|0S1 1S2 0S3\rangle\otimes\left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|0S4\rangle + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|1S4\rangle\right)$ | #### 4. 受控酉门的实现方法 虽然原则上可以实现任何特定的受控酉门，但在实际系统中，两比特门的物理实现要求比单比特门困难得多。幸运的是，任何受控酉门都可以仅使用 CNOT 门和单比特门来实现。 设 $\hat{U}$ 是由第一个（控制）比特控制，作用在第二个（目标）比特上的酉门，且 $\hat{U}$ 具有欧拉角 $\alpha$、$\beta$ 和 $\gamma$ 以及额外的相因子 $e^{i\phi}$，即 $\hat{U} = e^{i\phi} \hat{U}_z(\alpha) \hat{U}_y(\beta) \hat{U}_z(\gamma)$，则可以找到三个酉算子 $\hat{A}$、$\hat{B}$ 和 $\hat{C}$，使得： $\hat{U} = e^{i\phi} \hat{A} \hat{X} \hat{B} \hat{X} \hat{C}$，且 $\hat{A} \hat{B} \hat{C} = \hat{I}$ 常见的选择如下： - $\hat{A} = \hat{U}_z(\alpha) \hat{U}_y(\beta/2)$ - $\ha