具有先验对应关系的概率点集配准

### 具有先验对应关系的概率点集配准 在点集配准中嵌入额外的先验知识是一种约束解空间并消除问题歧义的有效方法。不过，可嵌入点集配准的先验知识量不应超过某个“临界值”，否则算法类别会发生改变。例如，封闭网格的配准就是所谓的网格配准。其中一种可行的方式是嵌入先验对应关系。 先验对应关系或匹配是不同点集之间点的亲和关系。如果有先验匹配，每个先验匹配都会配备一个可靠性标准。而地标则是高度可靠的先验匹配。 下面将介绍如何将先验对应关系融入概率性的刚性和非刚性点集配准中。相关方法基于相干点漂移（CPD）算法，并拓展了其应用范围，将具有先进精度的方法与先验对应关系形式的额外先验知识相结合。 #### 刚性点集配准与先验对应关系 通常，配准算法在处理代表无噪声对象的点集时表现良好。但当点集存在以下情况时，会出现困难： 1. 点集代表对象的部分重叠部分； 2. 包含离群点； 3. 场景姿态差异显著。 这些情况在实际中经常出现。虽然有些方法能处理不同类型的噪声分布，但离群点往往不遵循特定的概率分布，而是聚集在一起。在配准过程中，点集中的聚集离群点和正常点难以区分。例如，基于混合模型的方法相较于迭代最近点（ICP）方法，在存在离群点时更具鲁棒性，但如果离群点聚集，这些方法可能会失效。部分形状也可理解为具有大面积聚集离群点的点集，所以情况1是情况2的特殊情况。 为了弥补上述问题，需要进行预处理步骤。为了应对聚集离群点，可以根据重叠部分对对应关系进行加权，但该方法的性能强烈依赖于初始化。为了应对点集之间的严重未对齐，通常在通过关键点检测器获得的可靠关键点子集上进行配准，通过评估和比较关键点来建立对应关系，从而将问题转化为变换估计问题。 常常会有一个或多个模板与参考之间的对应关系（先验匹配）是已知的，它们可以有利地约束解空间，确保收敛到期望的范围。然而，整合先验匹配并不简单，要么在先对齐步骤中使用先验匹配以确保有利的初始方向，要么配准算法允许显式嵌入先验匹配。前者将先验匹配与配准过程分离，下面将重点研究如何将先验匹配嵌入刚性概率点集配准算法。 ##### 扩展相干点漂移（ECPD）的一般形式 设 $(y_j, x_k)$ 是一组对应先验，其索引 $(j, k) \in N_c \subset N^2$。通过特定独立密度函数的乘积来建模对应先验： \[ P_c(N_c) = \prod_{(j,k) \in N_c} p_c(x_j, y_k) \] 其中 \[ p_c(x_j, y_k) = \frac{1}{(2\pi\alpha)^{D/2}} \exp\left(-\frac{\|x_j - T(y_k, \theta)\|^2}{2\alpha^2}\right) \] 由于分布呈高斯形式，参数 $\alpha > 0$ 反映了先验的可靠程度。将对应先验概率 $P_c(N_c)$ 纳入CPD方法的高斯混合模型（GMM）中，得到具有密度函数的修改后的GMM： \[ \tilde{p}(x) = P_c(N_c) p(x) \] 通过考虑组合修改后的GMM的负对数，可以导出修改后的能量函数： \[ \tilde{E}(\theta, \sigma^2) = -\log\left[P_c(N_c) \prod_{i = 1}^{N} p(x_n)\right] = E(\theta, \sigma^2) - \sum_{(j,k) \in N_c} \log(p_c(x_j, y_k)) \] 利用与式(2.94)相同的推导，可以得到目标函数 $\tilde{Q}$。重写式(8.4)的最后一项并忽略常数，修改后的目标函数为： \[ \tilde{Q} = Q + \frac{1}{2\alpha^2} \sum_{(j,k) \in N_c} \|x_j - T(y_k, \theta)\|^2 = Q + \frac{1}{2\alpha^2} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{m = 1}^{M} \tilde{P}_{m,n} \|x_n - T(y_m, \theta)\|^2 \] 其中 $M \times N$ 矩阵 $\tilde{P}$ 的元素为： \[ \tilde{p}_{j,k} = \begin{cases} 1, & \text{for } (j,k) \in N_c \\ 0, & \text{else} \end{cases} \] 该矩阵可以预先计算一次。带有对应先验的ECPD的EM算法步骤如下： 1. 在E步，计算概率矩阵（式(2.95)）； 2. 在M步，关于 $(\theta, \sigma^2)$ 最小化修改后的目标函数（式(8.5)）。 下面的流程图展示了ECPD的EM算法流程： ```mermaid graph TD; A[开始] --> B[初始化]; B --> C[E步: 计算概率矩阵]; C --> D[M步: 最小化目标函数]; D --> E{是否收敛}; E -- 否 --> C; E -- 是 --> F[输出结果]; F --> G[结束]; ``` ##### 刚性扩展相干点漂移（R - ECPD） 为了指定参数集 $\theta$，对GMM质心施加刚体动力学规则。R - ECPD的目标函数为： \[ \tilde{Q}(R, t, s, \sigma^2) = \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{m = 1}^{M} P_{old}(m|x_n) \|x_n - sRy_m - t\|^2 + \frac{N_pD}{2} \log\sigma^2 + \frac{1}{2\alpha^2} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{m =