动态道义逻辑中的承诺行为与量化模态μ-演算的动态语义

### 动态道义逻辑中的承诺行为与量化模态μ - 演算的动态语义 在逻辑研究领域，动态道义逻辑中的承诺行为以及量化模态μ - 演算的动态语义有着重要的地位。下面我们将深入探讨这两方面的内容。 #### 动态道义逻辑中的承诺行为 在动态道义逻辑中，承诺行为和命令行为会产生相应的义务。例如，你的导师下达命令，这会增加一项新的义务，但不会消除你之前的承诺，这两项义务相互独立。根据特定的逻辑推导，我们可以得到如下式子： \((LProm(a \ b)p)Com(c \ a)q \ s \ DMDL \ III (O(a\b\a)p \  O(a\c \ c)q) \  \ (p \  q)\) 这展示了在这个例子中，义务的偶然冲突是如何由承诺行为和导师的命令行为共同导致的。 在\(MDL \ III\)和\(DMDL \ III\)中，存在一些有趣的可表达内容： - **特殊形式的义务**： - 对于形如\(O(i \ j \ k)\)（\(i \neq j \neq k \neq i\)）的义务，以研究中心主任对某人说“我的秘书会马上给你回电话”为例。若要将主任的这句话视为产生了形如\(O(b \ c \ a)p\)的义务，就需要引入新的程序项，如\(Prom \ (i \ j \ k)\)，若这样做，还能将通常的承诺行为\(Prom(i \ j)\)定义为\(Prom \ (i \ j \ i)\)的缩写。 - 形如\(O(i \ i \ i)\)的义务，可由\(Com(i \ i)\)类型的命令行为（即自己命令自己确保某事）和\(Prom(i \ i)\)类型的承诺行为（即自己承诺自己会确保某事）产生。当\(\varphi\)是\((i, i, i)\) - 自由的，有如下公式： \[ \begin{align*} [Com(i \ i)]O(i \ i \ i)\varphi&(18)\\ [Prom(i \ i)]O(i \ i \ i)\varphi&(19) \end{align*} \] 在\(DMDL \ III\)中，自己命令自己和自己承诺自己确保某事的效果没有区别，即\(MProm(i \ i) \  \  MCom(i \ i) \ \)。 - **承诺行为的影响**：在涉及不同主体的普通情况下，命令行为和承诺行为会有有趣的相互作用。例如，你决定服从导师并写信表示会参加东京的示威活动，这封信不仅会改变导师的认知状态，还会使你产生新的义务。具体来说，有如下式子： \[ \begin{align*} ((MProm(a \ b)p)Com(c \ a)q)Prom(a \ c)q \ s \ DMDL \ III O(a \ c \ a)q&(20)\\ ((MProm(a \ b)p)Com(c \ a)q)Prom(a \ c)q \ s \ DMDL \ III O(a \ c \ c)q \  O(a \ c \ a)q&(21) \end{align*} \] 此时，你不仅要以导师的名义，还要以自己的名义确保\(q\)的实现，你明确地做出了承诺。 \(DMDL \ III\)的证明系统是在\(MDL \ III\)的证明系统基础上，添加针对每个命令运算符和每个承诺运算符的所谓归约公理和必然化规则得到的，具体如下： |类别|公理和规则| | ---- | ---- | |命令运算符相关| |(C1)|\([Com(i \ j)]p \equiv p\)| |(C2)|\([Com(i \ j)] \bot \equiv \bot\)| |(C3)|\([Com(i \ j)] \neg \varphi \equiv \neg [Com(i \ j)] \varphi\)| |(C4)|\([Com(i \ j)](\varphi \land \psi) \equiv [Com(i \ j)] \varphi \land [Com(i \ j)] \psi\)| |(C5)|\([Com(i \ j)] \diamond \varphi \equiv \diamond [Com(i \ j)] \varphi\)| |(C6)|\([Com(i \ j)]O(l \ m \ n)\varphi \equiv O(l \ m \ n)[Com(i \ j)] \varphi\)，若\((l, m, n) \neq (j, i, i)\)| |(C7)|\([Com(i \ j)]O(j \ i \ i)\varphi \equiv O(j \ i \ i)( \neg [Com(i \ j)] \varphi)\)| |(C8)|\([Com(i \ j)][Prom(l \ m)] \psi \equiv [Prom(l \ m)][Com(i \ j)] \psi\)，若\((l, m, l) \neq (j, i, i)\)| |(C9)|\([Com(i \ j)][Prom(l \ m)] \psi \equiv [Prom(l \ m)][Com(i \ j)] \psi\)，若\((l, m, l) \neq (j, i, i)\)，即\(i \neq j \neq l \neq m\)| |承诺运算符相关| |(P1)|\([Prom(i \ j)]p \equiv p\)| |(P2)|\([Prom(i \ j)] \psi \equiv \psi\)| |(P3)|\([Prom(i \ j)] \neg \varphi \equiv \neg [Prom(i \ j)] \varphi\)| |(P4)|\([Prom(i \ j)](\varphi \land \psi) \equiv [Prom(i \ j)] \varphi \land [Prom(i \ j)] \psi\)| |(P5)|\([Prom(i \ j)] \diamond \varphi