C与C++编程：从数值积分到高级语法的全面解析

### C与C++编程：从数值积分到高级语法的全面解析 #### 1. 数值积分基础 在数值计算领域，对单变量实值函数进行积分是一项常见任务。我们可以使用不同的数值积分方法，如中点法则和双曲正切积分法则。 ##### 1.1 中点法则 中点法则是一种简单且常用的数值积分方法。为了实现该方法，我们需要定义函数指针，它可以指向任何单变量实值函数。以下是具体步骤： 1. **定义函数指针**： ```cpp double (*f)(double x); ``` 这里的 `f` 是一个指向函数的指针，该函数接受一个 `double` 类型的参数并返回一个 `double` 类型的值。当然，你也可以使用其他有意义的名称，如 `func`、`myFunc` 等。 2. **定义具体函数**： ```cpp double myFunc (double x) { return x*x*x; } double myFunc2 (double x) { return log(x) / (1.0 - x); } ``` 这两个函数是我们要进行积分的具体函数。 3. **实现中点法则积分函数**： ```cpp double MidpointRuleValue(double (*f)(double x), double A, double B, int N) { double res = 0.0; double h = (B - A)/ double (N); for (double x = A + (0.5 * h); x < B; x += h) { res += f(x); } return res*h; } ``` 该函数接受一个函数指针 `f`、积分区间 `[A, B]` 和细分数量 `N` 作为参数，返回积分的近似值。 4. **调用积分函数**： ```cpp int main() { int N = 200; double A = 0.0; double B = 1.0; double d = MidpointRuleValue(myFunc, A, B, N); cout << "Approximate integral Midpoint rule is: " << d << endl; double d2 = MidpointRuleValue(myFunc2, A, B, N); cout << "Approximate integral is: " << d2 << ", Exact: " << - (3.1415)*(3.1415)/6.0 << endl; return 0; } ``` 在 `main` 函数中，我们调用 `MidpointRuleValue` 函数对 `myFunc` 和 `myFunc2` 进行积分，并输出近似积分值和精确值（对于 `myFunc2`）。 ##### 1.2 双曲正切积分法则 双曲正切积分法则的实现代码如下： ```cpp double TanhRuleValue(double (*f)(double x), double A, double B, int N) { double res = 0.0; double h = (B - A)/ double (N); for (double x = A + (0.5 * h); x < B; x += h) { res += tanh( (*f)(x) * 0.5 * h); } return 2.0 * res; } ``` 该法则适用于绝对值小于 1 的函数，如概率密度函数。 #### 2. 二维数值积分 对于二维实值函数 `f(x, y)` 的数值积分，我们可以使用二维中点法则。具体步骤如下： 1. **定义二维函数指针**： ```cpp double (*f) (double x, double y); ``` 2. **实现二维中点法则积分函数**： ```cpp double TwoDMidpointRuleValue(double (*f)(double x, double y), double A, double B, double C, double D, int N, int M); ``` 其中，`N` 和 `M` 分别是 `x` 和 `y` 方向的细分数量。 3. **测试函数**： 可以在单位矩形 `(0, 1) × (0, 1)` 上对以下函数进行测试： - `1 / (x - y)^α`（`α` 取不同值） - `1 / sqrt(x - y)` - `1 / (1 - xy)` - `1 / r`（`r = sqrt(x^2 + y^2)`） #### 3. 高级 C 语法 除了数值积分，C 语言还有许多高级语法特性，如数组、结构体和联合体等。 ##### 3.1 数组 数组是 C 语言中常用的数据结构，可分为固定大小数组和动态数组。 - **固定大小数组**： ```cpp int myArray[4]; ``` 可以通过硬编码或循环来初始化数组的值： ```cpp myArray[4] = {2, 3, 4, 5}; // 或者 for (int j = 0; j < 4; j++) { myArray[j] = (2 + j); } ``` - **多维数组**： 以创建一个 2 行 3 列的矩阵为例： ```cpp #define ROWS 2 #define COLUMNS 3 double myMatrix[ROWS][COLUMNS]; for (int j = 0; j < ROWS; j++) { for (int k = 0; k < COLUMNS; k++) { myMatrix[j][k] = 0.0; } } ``` ##### 3.2 结构体 结构体是一种将多个变量（可能是不同类型）组合在一起的方式，类似于 C++ 中的类，但所有成员默认是公共的。 - **定义结构体**： ```cpp struct Point { double x; double y; }; ``` - **使用结构体**： ```cpp struct Point pt; pt.x = 1.0; pt.y = 2.0; ``` 结构体还可以嵌套，例如： ```cpp struct LineSegment { struct Point p1; struct Point p2; }; struct LineSegment linSeg; linSeg.p1 = pt; linSeg.p2 = pt; ``` ##### 3.3 联合体 联合体是一种特殊的数据类型，它可以在不同时间存储不同类型和大小的对象。 ```cpp union Tag { int ival; double dval; }; union Tag myTag; myTag.ival = 7; myTag.dval = 3.1415; ``` 需要注意的是，在给联合体的一个成员赋值后，其他成员的值将变得未定义。 #### 4. 线性回归 线性回归是金融工程中常用的曲线拟合方法，用于找到一组点的最小二乘直线 `y = a + bx`。具体步骤如下： 1. **定义点和直线结构体**： ```cpp struct Point { double x; double y; }; struct Line { double a; double b; void print() const { cout << "a + bx: a = " << a << ", b = " << b << endl;} double value(double xval) const { return a + b*xval; } }; ``` 2. **实现辅助函数**： ```cpp double sum(double* x, int n) { double ans = x[0]; for (int j = 1; j < n; j++) ```