组合搜索与启发式方法：模拟退火算法解析

### 组合搜索与启发式方法：模拟退火算法解析 #### 1. 模拟退火算法概述 模拟退火算法是一种启发式搜索过程，它允许偶尔向代价更高（因此更差）的解进行转换。这乍一听似乎不是进步，但它能避免搜索陷入局部最优。其灵感来源于将熔融材料冷却至固态的物理过程。 在热力学理论中，系统的能量状态由构成它的每个粒子的能量状态描述。粒子的能量状态会随机跳跃，这种转变由系统的温度控制。从能量 $e_i$ 到 $e_j$ 在温度 $T$ 下的转变概率 $P(e_i, e_j, T)$ 由以下公式给出： $P(e_i, e_j, T) = e^{(e_i - e_j)/(k_BT)}$ 其中 $k_B$ 是玻尔兹曼常数。 这个公式意味着，从高能态到低能态的转变概率非常高，但仍有非零概率接受向高能态的转变，小的跳跃比大的跳跃更有可能发生。温度越高，能量跳跃越容易发生。 模拟退火算法的伪代码如下： ```plaintext Simulated-Annealing() Create initial solution S Initialize temperature t repeat for i = 1 to iteration-length do Generate a random transition from S to Si If (C(S) ≥ C(Si)) then S = Si else if (e^(C(S) - C(Si))/(k·t) > random[0, 1)) then S = Si Reduce temperature t until (no change in C(S)) Return S ``` #### 2. 模拟退火算法在组合优化中的应用 物理系统在冷却时会寻求达到最低能量状态，对于任何离散粒子集合，最小化总能量是一个组合优化问题。通过根据给定概率分布生成随机转变，我们可以模拟物理过程来解决任意组合优化问题。 模拟退火算法有效的原因在于，它大部分时间都在处理解空间中的好元素，而不是坏元素，并且能避免反复陷入相同的局部最优。 与局部搜索一样，问题表示包括解空间的表示和一个易于计算的成本函数 $C(s)$ 来衡量给定解的质量。新的组成部分是冷却时间表，其参数控制我们接受不良转变的可能性随时间的变化。 冷却时间表可以由以下参数调节： - **初始系统温度**：通常 $t_1 = 1$。 - **温度递减函数**：通常 $t_k = α · t_{k - 1}$，其中 $0.8 ≤ α ≤ 0.99$，这意味着温度呈指数衰减，而非线性衰减。 - **温度变化之间的迭代次数**：通常在降低温度之前允许 100 到 1000 次迭代。 - **接受标准**：典型标准是当 $C(s_{i + 1}) < C(s_i)$ 时接受从 $s_i$ 到 $s_{i + 1}$ 的任何转变，并且当 $e^{-(C(s_i) - C(s_{i + 1}))/(k·t_i)} ≥ r$（其中 $r$ 是一个 $0 ≤ r < 1$ 的随机数）时也接受负转变。常数 $k$ 对成本函数进行归一化，使得在起始温度下几乎所有转变都被接受。 - **停止标准**：通常，当当前解的值在最后一次迭代左右没有改变或改善时，搜索终止并报告当前解。 创建合适的冷却时间表有点像试错过程，从现有的模拟退火实现开始可能更划算。 #### 3. 模拟退火算法与其他启发式算法的比较 比较三种启发式算法的搜索/时间执行曲线，随机采样对应的点云明显比其他启发式算法遇到的解差很多。爬山法解的短条纹得分明显更好，但模拟退火算法的三次运行曲线是最好的。 使用与其他方法相同的 1500000 次迭代，模拟退火算法得到的解成本为 36617.4，仅比最优值高 9.2%。让它运行 5000000 次迭代，得分降至 34254.9，比最优值高 2.2%。将迭代次数提高到 10000000 次后，没有进一步的改进。 在专家手中，针对 TSP 的最佳特定问题启发式算法可能会略微优于模拟退火算法，但模拟退火算法的效果也非常好，是首选的启发式方法。 #### 4. 模拟退火算法的实现 以下是模拟退火算法的实现代码，它与伪代码非常接近： ```c anneal(tsp_instance *t, tsp_solution *s) { int i1, i2; /* pair of items to swap */ int i,j; /* counters */ double temperature; /* the current system temp */ double current_value; /* value of current state */ double start_value; /* value at start of loop */ double delta; /* value after swap */ double merit, flip; /* hold swap accept conditions*/ double exponent; /* exponent for energy funct*/ double random_float(); double so ```