聚类分析全解析：从固定数量聚类到实际应用

### 聚类分析全解析：从固定数量聚类到实际应用 #### 1. 固定数量聚类 在聚类过程中，有时需要强制生成预先设定数量的聚类。以下通过具体示例来展示这种强制聚类的结果。 首先，我们生成两个真正分离的输入云，代码如下： ```mathematica Clear["Global‘*"]; <<CIP‘Cluster‘ <<CIP‘Graphics‘ <<CIP‘CalculatedData‘ standardDeviation = 0.05; numberOfCloudInputs = 500; centroid1 = {0.3, 0.7}; cloudDefinition1 = {centroid1, numberOfCloudInputs, standardDeviation}; inputs1 = CIP‘CalculatedData‘GetDefinedGaussianCloud[cloudDefinition1]; centroid2 = {0.7, 0.3}; cloudDefinition2 = {centroid2, numberOfCloudInputs, standardDeviation}; inputs2 = CIP‘CalculatedData‘GetDefinedGaussianCloud[cloudDefinition2]; inputs = Join[inputs1, inputs2]; labels = {"x", "y", "Inputs to be clustered"}; points2DWithPlotStyle = {inputs, {PointSize[0.01], Blue}}; points2DWithPlotStyleList = {points2DWithPlotStyle}; CIP‘Graphics‘PlotMultiple2dPoints[points2DWithPlotStyleList, labels] ``` 当将这两个最优或自然聚类强制划分为 3 个聚类时： ```mathematica numberOfClusters = 3; clusterInfo = CIP‘Cluster‘GetFixedNumberOfClusters[inputs, numberOfClusters]; CIP‘Cluster‘ShowClusterResult[{"NumberOfClusters", "EuclideanDistanceDiagram", "ClusterStatistics"}, clusterInfo] ``` 结果如下： | 聚类编号 | 成员数量 | 占比 | 距离 | | --- | --- | --- | --- | | 1 | 500 | 50% | 0 | | 2 | 271 | 27.1% | 0.561643 | | 3 | 229 | 22.9% | 0.573776 | 输入被分割成一个大聚类和两个相邻的小聚类，实际上第二个自然聚类被简单地分成了两半。通过轮廓宽度检查，发现一个好的聚类（与第一个自然聚类相同）和两个较差的聚类。 如果将输入划分为 4 个聚类： ```mathematica numberOfClusters = 4; clusterInfo = CIP‘Cluster‘GetFixedNumberOfClusters[inputs, numberOfClusters]; CIP‘Cluster‘ShowClusterResult[{"NumberOfClusters", "EuclideanDistanceDiagram", "ClusterStatistics"}, clusterInfo] ``` 结果如下： | 聚类编号 | 成员数量 | 占比 | 距离 | | --- | --- | --- | --- | | 1 | 282 | 28.2% | 0 | | 2 | 218 | 21.8% | 0.0842652 | | 3 | 265 | 26.5% | 0.568283 | | 4 | 235 | 23.5% | 0.587472 | 输入被分割成四个大小相似的小聚类，每个小聚类是两个最优自然聚类的一半，轮廓宽度显示这 4 个聚类都较差。 从这些示例可以看出，将输入划分为越来越多的聚类似乎没有太大用处，因为聚类变得越不自然，聚类质量就越低。 #### 2. 获取代表 强制固定数量聚类的一个重要应用是生成一组输入的少量代表，这些代表应具有与完整输入集相似的空间多样性。 ##### 2.1 均匀分布输入示例 首先，我们使用 5000 个随机分布的输入作为示例： ```mathematica Clear["Global‘*"]; <<CIP‘Graphics‘ <<CIP‘Cluster‘ <<CIP‘CalculatedData‘ SeedRandom[1]; inputs = Table[{RandomReal[{0.05, 0.95}], RandomReal[{0.05, 0.95}]}, {5000}]; argumentRange = {0.0, 1.0}; functionValueRange = {0.0, 1.0}; labels = {"x", "y", "Inputs"}; allInputVectorsWithPlotStyle = {inputs, {PointSize[0.01], Green}}; points2DWithPlotStyleList = {allInputVectorsWithPlotStyle}; CIP‘Graphics‘PlotMultiple2dPoints[points2DWithPlotStyleList, labels, GraphicsOptionArgumentRange2D -> argumentRange, GraphicsOptionFunctionValueRange2D -> functionValueRange] ``` 查看输入各组件的统计信息： ```mathematica indexOfComponentList = {1, 2}; numberOfIntervals = 5; argumentRange = {0.0, 1.0}; functionValueRange = {0.0, 30.0}; CIP‘Cluster‘ShowComponentStatistics[inputs, indexOfComponentList, ClusterOptionNumberOfIntervals -> numberOfIntervals, GraphicsOptionArgumentRange2D -> argumentRange, GraphicsOptionFunctionValueRange2D -> functionValueRange] ``` 结果显示输入近似均匀分布。如果需要 20 个代表，可以使用随机选择的方法： ```mathematica numberOfRepresentatives = 20; randomRepresentatives = CIP‘Cluster‘GetRandomRepresentatives[inputs, numberOfRepresentatives]; labels = {"x", "y", "Random representatives"}; argumentRange = {0.0, 1.0}; functionValueRange = {0.0, 1.0}; randomRepresentativesBackground = {randomRepresentatives, {PointSize[0.025], White}}; randomRepresentativesWithPlotStyle = {randomRepresentatives, {PointSize[0.02], Black}}; points2DWithPlotStyleList = {allInputVectorsWithPlotStyle, randomRepresentativesBackground, randomRepresentativesWithPlotStyle}; CIP‘Graphics‘PlotMultiple2dPoints[points2DWithPlotStyleList, labels, GraphicsOptionArgumentRange2D -> argumentRange, GraphicsOptionFunctionValueRange2D -> functionValueRange] ``` 随机选择的代表在这个示例中对输入空间的描述是令人满意的，但随机选择的输入并非严格等间距分布。 另一种方法是基于聚类的选择： ```mathematica clusterRepresentatives = CIP‘Cluster‘GetClusterRepresentatives[inputs, numberOfRepresentatives]; labels = {"x", "y", "Cluster representatives"}; clusterRepresentativesBackground = {clusterRepresentatives, {PointSize[0.025], White}}; clusterRepresentativesWithPlotStyle = {clusterRepresentatives, {PointSize[0.02], Black}}; points2DWithPlotStyleList = {allInputVectorsWithPlotStyle, clusterRepresentativesBackground, clusterRepresentativesWithPlotStyle}; CIP‘Graphics‘PlotMultiple2dPoints[points2DWithPlotStyleList, labels, GraphicsOptionArgumentRange2D -> argumentRange, GraphicsOptionFunctionValueRange2D -> functionValueRange] ``` 基于聚类的代表似乎更均匀分布，在这个示例中，随机选择和基于聚类的选择结果相当，但基于聚类的选择略占优势。 ##### 2.2 非均匀分布输入示例 当输入集在输入空间中具有不同的密度时，情况会有所不同。我们生成具有不同密度的输入： ```mathematica centroid1 = {0.3, 0.7 ```