FIR滤波器频率响应解析

# FIR滤波器频率响应解析 ## 1. 共轭对称性质 在信号处理领域，FIR滤波器的频率响应具有共轭对称性质。这意味着幅度函数是关于\(\hat{\omega}\)的偶函数，相位是关于\(\hat{\omega}\)的奇函数。用数学公式表示为： - \(|H(e^{-j\hat{\omega}})| = |H(e^{j\hat{\omega}})|\) - \(\angle H(e^{-j\hat{\omega}}) = -\angle H(e^{j\hat{\omega}})\) 同样，实部是关于\(\hat{\omega}\)的偶函数，虚部是关于\(\hat{\omega}\)的奇函数： - \(\Re\{H(e^{-j\hat{\omega}})\} = \Re\{H(e^{j\hat{\omega}})\}\) - \(\Im\{H(e^{-j\hat{\omega}})\} = -\Im\{H(e^{j\hat{\omega}})\}\) 基于这些对称性，频率响应图通常只需展示半个周期，即\(0 \leq \hat{\omega} \leq \pi\)，因为负频率区域可通过对称性构建。 ## 2. 频率响应的图形表示 ### 2.1 重要要点 对于LTI系统的频率响应，有两个要点需强调： - 频率响应通常随频率变化，系统对不同频率的正弦波处理方式不同。 - 通过适当选择系数\(b_k\)，可实现多种频率响应形状。 为直观呈现频率响应随频率的变化，需绘制幅度\(|H(e^{j\hat{\omega}})|\)和相位\(\angle H(e^{j\hat{\omega}})\)与\(\hat{\omega}\)的关系图。由于\(H(e^{j\hat{\omega}})\)是复数值，所以需要两个图。 ### 2.2 示例系统 #### 2.2.1 延迟系统 延迟系统是简单的FIR滤波器，其差分方程为\(y[n] = x[n - n_0]\)，其中\(n_0\)为整数，表示延迟量。该系统只有一个非零滤波器系数\(b_{n_0} = 1\)，其频率响应为\(H(e^{j\hat{\omega}}) = e^{-j\hat{\omega}n_0}\)。 - 幅度响应：对于所有频率，幅度响应均为1，因为\(|e^{-j\hat{\omega}n_0}| = 1\)。 - 相位响应：相位图是斜率为\(-n_0\)的直线，即\(\angle H(e^{j\hat{\omega}}) = -n_0\hat{\omega}\)。 一般而言，线性相位与频率的斜率可与所有滤波器中的时间延迟相关联。由于时间延迟仅水平移动信号图而不改变其形状，所以线性相位常被视为理想的相位响应。 #### 2.2.2 一阶差分系统 一阶差分系统的输出是通过减去输入序列的相邻值得到的，其差分方程为\(y[n] = x[n] - x[n - 1]\)，频率响应为\(H(e^{j\hat{\omega}}) = 1 - e^{-j\hat{\omega}}\)。 - 幅度响应：\(|H(e^{j\hat{\omega}})| = 2|\sin(\hat{\omega}/2)|\) - 相位响应：\(\angle H(e^{j\hat{\omega}}) = \arctan(\frac{\sin\hat{\omega}}{1 - \cos\hat{\omega}})\) 幅度和相位图展示了该系统的特性： - \(H(e^{j0}) = 0\)，表明系统完全去除了\(\hat{\omega} = 0\)（即直流）的分量。 - 幅度图显示系统相对低频更增强高频（接近\(\hat{\omega} = \pi\)）的分量，这种滤波器称为高通滤波器。 #### 2.2.3 简单低通滤波器 简单低通滤波器的频率响应为\(H(e^{j\hat{\omega}}) = 1 + 2e^{-j\hat{\omega}} + e^{-j2\hat{\omega}} = (2 + 2\cos\hat{\omega})e^{-j\hat{\omega}}\)。 - 幅度响应：\(|H(e^{j\hat{\omega}})| = 2 + 2\cos\hat{\omega}\) - 相位响应：\(\angle H(e^{j\hat{\omega}}) = -\hat{\omega}\) 相位响应是斜率为\(-1\)的直线，表明系统引入了一个样本的延迟。幅度响应显示系统倾向于增益低频（接近\(\hat{\omega} = 0\)），抑制高频（接近\(\hat{\omega} = \pi\)），这种滤波器称为低通滤波器。 ## 3. 级联LTI系统 ### 3.1 频率响应特性 两个LTI系统级联时，整体频率响应是各个系统频率响应的乘积。即若两个LTI系统的频率响应分别为\(H_1(e^{j\hat{\omega}})\)和\(H_2(e^{j\hat{\omega}})\)，则级联系统的频率响应为\(H(e^{j\hat{\omega}}) = H_1(e^{j\hat{\omega}})H_2(e^{j\hat{\omega}})\)。 这表明“时域中的卷积等效于频域中的乘法”，即\(h_1[n] * h_2[n] \leftrightarrow H_1(e^{j\hat{\omega}})H_2(e^{j\hat{\omega}})\)。 ### 3.2 示例 假设两个FIR LTI系统级联，第一个系统的系数为\(\{2, 1, 2\}\)，频率响应为\(H_1(e^{j\hat{\omega}}) = 2 + e^{-j\hat{\omega}} + 2e^{-j\hat{\omega}2}\)；第二个系统的系数为\(\{0, 3, 0, -3\}\)，频率响应为\(H_2(e^{j\hat{\omega}}) = 3e^{-j\hat{\omega}} - 3e^{-j\hat{\omega}3}\)。则级联系统的频率响应为： \[ \begin{align*} H(e^{j\hat{\omega}}) &= H_1(e^{j\hat{\omega}})H_2(e^{j\hat{\omega}})\\ &= (2 + e^{-j\hat{\omega}} + 2e^{-j\hat{\omega}2})(3e^{-j\hat{\omega}} - 3e^{-j\hat{\omega}3})\\ &= 6e^{-j\hat{\omega}} + 3e^{-j\hat{\omega}2} + (6 - 6)e^{-j\hat{\omega}3} - 3e^{-j\hat{\omega}4} - 6e^{-j\hat{\omega}5} \end{align*} \] 整体等效的脉冲响应为\(h[n] = 6\delta[n - 1] + 3\delta[n - 2] - 3\delta[n - 4] - 6\delta[n - 5]\)，等效FIR系统的滤波器系数