模态分析：原理、方法与应用

# 模态分析：原理、方法与应用 ## 1. 引言 在分析线性机械系统时，模态分析是一种强大的技术。对于多自由度（mdof）系统，之前已系统定义其运动方程并通过拉普拉斯变换转换到 “s” 域。对于不同阻尼情况的系统，分析方法有所不同。重阻尼结构或带有明确阻尼元件（如阻尼器）的结构会产生复模态，需要使用状态空间求解技术来处理原始的耦合运动方程。而轻阻尼结构通常采用 “正常模态” 方法进行分析。 模态分析的关键在于将系统的整体响应重建为不同模态响应的叠加。这种方法能将 n 个耦合的微分方程替换为 n 个非耦合方程，每个非耦合方程代表系统在该振动模态下的运动。其优点众多，具体如下： 1. 求解无阻尼特征值问题，确定共振频率和振型（特征值和特征向量），有助于理解系统的基本运动。 2. 使用特征向量对原始耦合方程进行解耦或对角化，将求解一组 n 个耦合方程的问题转化为求解 n 个单自由度（sdof）问题。 3. 计算每个模态对整体响应的贡献，通过消除无法激发的模态和/或在所需自由度上无输出的模态，以及对低频下对系统贡献较小的高频模态进行消除或近似处理，来减小待分析系统的规模。 4. 通过观察写出系统矩阵 A，并使用适当的特征向量项组装输入和输出矩阵 B 和 C，从而解决频域和强迫瞬态响应问题。若有完整的特征向量，还可解决初始条件瞬态问题。对于轻阻尼系统，可添加比例阻尼，同时仍能使方程解耦。 ## 2. 特征值问题 ### 2.1 运动方程 从无阻尼齐次（无外力）运动方程开始，以图中所示的无阻尼三自由度（tdof）模型为例，其运动方程为： \[m\ddot{z} + kz = 0\] 具体展开为： \[\begin{bmatrix}m & 0 & 0\\0 & m & 0\\0 & 0 & m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot{z}_1\\\ddot{z}_2\\\ddot{z}_3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}k & -k & 0\\-k & 2k & -k\\0 & -k & k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\] ### 2.2 主（正常）模态定义 由于系统是保守的（无阻尼），存在正常振动模态。正常模态意味着在特定频率下，系统中的所有点将以相同频率同相振动，即系统中的所有点将在同一时间达到其最小和最大位移。可以表示为： \[z_i = z_{mi}\sin(\omega_i t + \varphi_i)\] 对于三自由度系统，第 i 个频率下的方程为： \[\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}z_{m1i}\\z_{m2i}\\z_{m3i}\end{bmatrix}\sin(\omega_i t + \varphi_i)\] 其中，\(z_i\) 是所有自由度在第 i 个频率下的位移向量，\(z_{mi}\) 是第 i 个特征向量（第 i 个共振频率的振型），\(\omega_i\) 是第 i 个特征值（第 i 个共振频率），\(\varphi_i\) 是任意初始相位角。 ### 2.3 特征值 / 特征方程 已知运动方程 \(m\ddot{z} + kz = 0\) 和运动形式 \(z_i = z_{mi}\sin(\omega_i t + \varphi_i)\)，对 \(z_i\) 求二阶导数并代入运动方程： \[\ddot{z}_i = -\omega_i^2z_{mi}\sin(\omega_i t + \varphi_i)\] 代入后消去正弦项可得： \(-\omega_i^2mz_{mi} + kz_{mi} = 0\) 进一步整理为： \(kz_{mi} = \omega_i^2mz_{mi}\) 这是一个非标准形式的特征值问题，标准形式为 \(Az = \lambda z\)。为便于计算机计算，将非标准形式改写为齐次方程： \((k - \omega_i^2m)z_{mi} = 0\) 非平凡解存在的条件是系数矩阵的行列式为零，即： \(\begin{vmatrix}k - \omega_i^2m & -k & 0\\-k & 2k - \omega_i^2m & -k\\0 & -k & k - \omega_i^2m\end{vmatrix}=0\) 展开行列式得到特征方程： \(m^3\omega_i^6 - 4km^2\omega_i^4 + 3k^2m\omega_i^2 = 0\) 其中两个根在原点： \(\omega_1 = 0\) 求解 \(\omega^2\) 作为二次方程可得： \(\omega_2 = \pm\sqrt{\frac{k}{m}}\)，\(\omega_3 = \pm\sqrt{\frac{3k}{m}}\) 对于这三对特征值，每一对都存在一个特征向量 \(z_i\)，表示该频率下的振型。 ### 2.4 特征向量 为获得系统的特征向量，选择任意一个自由度（如 \(z_1\)