量子电路与错误纠正：原理与实践

# 量子电路与错误纠正：原理与实践 ## 1. 电路量子电动力学（Circuit QED）基础 ### 1.1 LC 电路电流分析 在电路量子电动力学（Circuit QED，简称 cirQED）中，我们先关注 LC 电路的电流特性。电容电抗 \(X_C \equiv \frac{1}{\omega C}\)，电感电抗 \(X_L \equiv \omega L\)。将相关表达式代入后，电流 \(I(t)\) 可表示为： \[I(t) = \frac{1}{X_C - X_L} \cos(\omega t + \frac{\pi}{2} + \varphi_0)\] 其中 \(v = V \exp(j \varphi_0)\) 且 \(V\) 为实数。当驱动频率 \(\omega\) 接近 LC 电路的自然或共振频率 \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\) 时，电流 \(I(t)\) 趋近于最大值。在共振时 \(\omega = \omega_0\)，上述表达式无定义，但如果考虑非零电阻 \(R\)，则在共振时电流为 \(I(t) = \frac{V}{R} \cos(\omega_0 t + \varphi_0)\)。 ### 1.2 人造原子 在 cirQED 的一种实现中，微波传输线谐振器可类比为腔量子电动力学（cQED）中的腔。但要实现量子计算与信息（QCI）能力，还需要电路层面的量子比特（qubit）。LC 电路中的量子能量缺陷是均匀的，不适合作为量子比特的候选。在 cirQED 中，含有约瑟夫森结（Josephson junctions，简称 JJ）的电路可实现量子比特。约瑟夫森结是由 Brian Josephson 在 20 世纪 60 年代首次预测其行为的。含有约瑟夫森结的电路具有类似原子或离子的特性，因此也被称为人造原子。 超导性本质上是一种量子力学效应，但与表现出量子行为的原子、分子等常见系统不同，超导性是一种宏观现象。导体每立方厘米约有 \(10^{22}\) 个传导电子，在超导状态下，它们通过形成所谓的库珀对（Cooper pairs）表现出相干行为。库珀对是由 F. Cooper 与同事 Bardeen 和 Schrieffer 提出的现代低温超导理论（BCS 理论）中的概念，该理论认为电子像波一样作为一个相干的集体实体，而不是经典的台球状个体。虽然 BCS 理论超出了我们的讨论范围，但我们可以依靠更易于理解的现象学描述来预测约瑟夫森结附近的电流和电荷行为。 ### 1.3 约瑟夫森结的结构与特性 最基本的约瑟夫森结由两根被一小段非导电材料隔开的超导导线组成，普通电流无法跨越这个间隙。这听起来像一个电容器，约瑟夫森结确实有固有电容，但与标准电容器不同，带电荷 \(2e\) 的库珀对可以通过隧穿过程跨越间隙。隧穿是量子系统中的常见特征，在我们的讨论中，只要将其作为一个现象学事实接受，无需关注隧穿理论的细节。 ### 1.4 超导量子比特 设 \(n_a\)、\(n_b\) 分别表示构成结边界的超导导线 \(a\)、\(b\) 上的库珀对数量。我们为相应区域定义相位参数 \(\delta_a\)、\(\delta_b\)，这些参数源于用量子力学波幅描述电子气的需要。例如，在量子转子系统的讨论中，波幅可以写成包含幅度和相位的形式。这里，波幅 \(\psi \sim \sqrt{n} \exp(i\delta)\) 描述了超导体中电子对的集体行为。约瑟夫森结由以下变量表征： \(\delta \equiv \delta_b - \delta_a\) \(Q = 2e(n_a - n_b)\) 其中 \(Q\) 表示过剩电荷，\(\delta\) 表示结两端的相位差。 应用 BCS 理论，Brian Josephson 推导出以下方程： \(\dot{\delta} = \frac{2e V}{\hbar}\) \(I = I_0 \sin \delta\) 其中 \(I(t)\) 是流经结的电流（或超导电流），\(V(t)\) 是结两端的电压差，\(I_0 = \frac{E_J 2e}{\hbar}\) 是一个常数，\(E_J\) 是约瑟夫森能量，用于衡量结的特性。由于结也起到电容器的作用，\(V = \frac{Q}{C}\) 且 \(I = -\dot{Q}\)，我们可以将上述方程改写为： \(\dot{\delta} = \frac{2e Q}{\hbar C}\) \(\dot{Q} = -I_0 \sin \delta\) 在典型的结中，电容 \(C\) 约为 \(10^{-12} F\)，\(I_0\) 约为 \(10 \mu A\)。我们定义一个有效的哈密顿量 \(H_{JJ}(Q, \Phi)\)： \[H_{JJ}(Q, \Phi) = E_C (\frac{Q}{e})^2 + E_J (1 - \cos(\frac{\Phi}{\Phi_0}))\] 其中 \(E_C \equiv \frac{e^2}{2C}\)，\(\Phi_0 \equiv \frac{\hbar}{2e}\)，\(\Phi = \Phi_0 \delta\) 是广义坐标，\(Q\) 是其共轭动量。从哈密顿方程 \(\frac{\partial H_{JJ}}{\partial Q} = \dot{\Phi}\) 和 \(\frac{\partial H_{JJ}}{\partial \Phi} = -\dot{Q}\) 可以推出： \(\frac{2E_CQ}{e^2} = \Phi_0 \dot{\delta}\) \(\frac{E_J}{\Phi_0} \sin(\frac{\Phi}{\Phi_0}) = -\dot{Q}\) 这与约瑟夫森方程是等价的。 假设 \(\frac{\Phi}{\Phi_0} < 1\)，可以将 \(\cos(\frac{\Phi}{\Phi_0})\) 展开为幂级数，得到： \[H_{JJ} = H_{JJ}^0 + H_{NL}\] \[H_{JJ}^0 = \frac{Q^2}{2C} + \frac{\Phi^2}{2L_J}\] 其中 \(H_{NL}\) 是幂展开中二阶以上的所有项，\(L_J \equiv \frac{\Phi_0}{I_0}\) 是自感。\(H_{JJ}^0\) 描述了一个简谐振子（SHO），而 \(H_{NL}\) 是一个非谐修正项。非谐修正项使得含有约瑟夫森结的电路能够作为有效的量子比特，因为它引入了非谐性，使得 \(H_{JJ}\) 的能量本征值缺陷不再等间距。 ### 1.5 量子比特与谐振器的耦合 在 QCI 应用中，希望将约瑟夫森结量子比特与 LC “总线” 耦合。一种方法是通过两个电容器将约瑟夫森结量子比特连接到 LC 电路。可以证明，描述这种耦合的哈密顿量类似于 Jaynes - Cummings 哈密顿量，其本征态表现出量子比特和光子态之间的纠缠，类似地，我们期望约瑟夫森结量子比特与谐振器量子之间也存在纠缠。 实际实验室中的电路更为复杂，涉及非线性约瑟夫森结元件与电容器、电阻器和电感器等线性元件的复杂网络。这样的网络可以用其阻抗来描述。通过一种称为黑箱量子化（black - box quantization，简称 BBQ）的方法，已知阻抗 \(Z(\omega)\) 可以预测黑箱的能谱和基向量，进而可以形成与黑箱耦合的非线性项的矩阵表示并进行对角化，从而系统地找到 cirQED 系统的能谱和本征态。 ## 2.