量子计算的应用与硬件基础

# 量子计算的应用与硬件基础 ## 1. 量子密钥分配问题与解决方案 在传统的一次性密码本加密方式中，Alice 若要向 Bob 发送加密消息，需通过秘密信使传递密钥。Bob 则使用如下公式解码消息： Bob_ message = encrypted_ message ⊕ key 这里利用了对于任何二进制字符串 a，a⊕a = 0 的特性。然而，这种方式存在问题，每次 Alice 发送私密消息都要生成新密钥并让信使传递，成本高昂，还面临密钥分配的难题。不过，量子理论为解决这一问题提供了方法。 ### 1.1 BB84 协议 - **密钥生成与编码**：Alice 基于随机比特生成私钥，将这些比特编码为 |0⟩ 和 |1⟩ 状态，即计算基。她使用量子比特（如电子、光子等）作为信息载体，在计算基下进行如下关联： |0⟩ → 0 |1⟩ → 1 她的测量通过门 G3 进行： \[ G3 \equiv \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 0\end{pmatrix} \sigma(0, 0) = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \] 其中 \[ \sigma(\theta, \varphi) \equiv \begin{pmatrix}\cos\theta & \exp(-i\varphi)\sin\theta \\ \exp(i\varphi)\sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix} \] 由于 \[ H |0⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩ + |1⟩) \] \[ H |1⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩ - |1⟩) \] 是测量设备 \(\sigma(\frac{\pi}{2}, 0)\) 的本征态，Alice 也可使用门 G1 将 0、1 比特编码为新基 \(H |0⟩\)、\(H |1⟩\)： \[ G1 \equiv \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 0\end{pmatrix} \sigma(\frac{\pi}{2}, 0) = H G3 H^{\dagger} \] 例如，Alice 发送 12 比特字符串 {011001110101} 时，按计算基加载量子比特： {|0⟩, |1⟩, |1⟩, |0⟩, |0⟩, |1⟩, |1⟩, |1⟩, |0⟩, |1⟩, |0⟩, |1⟩} - **测量与筛选**：Bob 接收这些量子比特并进行测量，但他需随机选择测量设备。假设他选择的设备序列为： {G3, G1, G1, G1, G3, G3, G3, G3, G1, G3, G1, G3} 测量后他得到量子比特值 {0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0}。之后，他通过经典信道告知 Alice 测量完成。Alice 收到确认后，公开宣布她的测量门配置： {G3, G1, G3, G1, G3, G1, G3, G1, G3, G3, G1, G1} Bob 和 Eve 都能获取此信息。Bob 再告知 Alice 哪些量子比特的测量设备与她选择的一致。Alice 和 Bob 剔除不一致的门和比特值，假设剔除后得到的比特串为 {0 1 0 0 1 1 0}。 - **检测窃听**：为检测 Eve 是否窃听，Bob 和 Alice 在非安全经典信道上共享前三个比特值 {110}。若 Eve 碰巧选择了对应的门 G3、G3、G1，他们就难以察觉窃听，但对于足够大的比特样本，这种可能性极小。若 Eve 选择的门不同，Bob 就有 50% 的概率得到不同的比特配置，Alice 会立即发现并发出警告。若测试通过，他们丢弃 {110}，使用剩余的 {0 1 0 0} 作为私钥。不过，该协议假设量子信道无噪声，实际中需增加量子比特数量并采用纠错码来减轻噪声影响。同时，BB84 协议还存在中间人攻击的漏洞。 ### 1.2 Ekert 协议 - **初始状态与测量**：假设 Alice 和 Bob 各自拥有处于贝尔态的一对量子比特： \[ |ψ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩ - |10⟩) \] Alice 测量自旋投影 \(\vec{\sigma} \cdot \vec{n_a}\)，Bob 测量 \(\vec{\sigma} \cdot \vec{n_b}\)，他们随机选择沿 z 轴和 x 轴的两个方向进行测量。测量的关联期望值为： \[ \langle ψ| \vec{\sigma}_a \cdot \vec{n_a} \vec{\sigma}_b \cdot \vec{n_b} |ψ⟩ = -\vec{n_a} \cdot \vec{n_b} \] 若 \(\vec{n_a}\) 与 \(\vec{n_b}\) 平行，自旋测量完全反相关；若垂直，则无相关性。测量后，他们的数据可能如下表所示： | Pair | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | Alice | σ X | σ Z | σ Z | σ X | σ X | σ Z | σ Z | σ X | σ X | | Result | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | | Bob | σ X | σ X | σ Z | σ Z | σ X | σ X | σ Z | σ Z | σ Z | | Result | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | - **数据筛选与密钥生成**：测量后，Bob 告知 Alice 他使用的测量设备，他们剔除测量基不一致的量子比特对（如这里的 2、4、6、8、9 对）。剔除后，Alice 得到比特序列 {1, 1, 1, -1}，Bob 得到 {-1, -1, -1, 1}，Bob 改变自己测量值的符号后与 Alice 相同。之后，他们像 BB84 协议一样，取子集比较以检测 Eve 是否窃听，若满意则使用剩余子集作为私钥。 ### 1.3 量子密集编码 量子密集编码允许 Alice