C++数值计算：从基础到应用

# C++ 数值计算：从基础到应用 ## 1. 引言 C++ 虽并非专为数值计算设计，但数值计算常与数据库访问、网络、仪器控制、图形、模拟和金融分析等工作结合，使 C++ 成为大型系统中数值计算的理想选择。如今，数值方法不再局限于简单的浮点向量循环，当计算需要更复杂的数据结构时，C++ 的优势便凸显出来。 ## 2. 数值限制 ### 2.1 数值限制模板 要处理数字，我们需了解内置数值类型的一般属性，这些属性由实现定义。`<limits>` 中的 `numeric_limits` 模板特化提供了相关信息。例如： ```cpp void f(double d, int i) { char classification[numeric_limits<unsigned char>::max()]; if (numeric_limits<unsigned char>::digits==numeric_limits<char>::digits ) { // chars are unsigned } if (i<numeric_limits<short>::min() || numeric_limits<short>::max()<i) { // i cannot be stored in a short without loss of digits } if (0<d && d<numeric_limits<double>::epsilon()) d = 0; if (numeric_limits<Quad>::is_specialized) { // limits information is available for type Quad } } ``` 该模板为每个基本数值类型（字符类型、整数类型、浮点类型和 `bool`）提供特化，但不包括 `void`、枚举或库类型（如 `complex<double>`）。 ### 2.2 整数类型示例 以 `char` 为例，若 `char` 为 8 位有符号类型，其 `numeric_limits<char>` 特化如下： ```cpp template<> class numeric_limits<char> { public: static const bool is_specialized = true; static const int digits = 7; static const bool is_signed = true; static const bool is_integer = true; static constexpr char min() noexcept { return -128; } static constexpr char max() noexcept { return 127; } // lots of declarations not relevant to a char }; ``` 这些函数为 `constexpr`，可在常量表达式中使用，且无运行时开销。 ### 2.3 浮点类型示例 对于 `float`，其 `numeric_limits<float>` 特化如下： ```cpp template<> class numeric_limits<float> { public: static const bool is_specialized = true; static const int radix = 2; static const int digits = 24; static const int digits10 = 9; static const bool is_signed = true; static const bool is_integer = false; static const bool is_exact = false; static constexpr float min() noexcept { return 1.17549435E-38F; } static constexpr float max() noexcept { return 3.40282347E+38F; } static constexpr float lowest() noexcept { return -3.40282347E+38F; } static constexpr float epsilon() noexcept { return 1.19209290E-07F; } static constexpr float round_error() noexcept { return 0.5F; } static constexpr float infinity() noexcept { return /* some value */; } static constexpr float quiet_NaN() noexcept { return /* some value */; } static constexpr float signaling_NaN() noexcept { return /* some value */; } static constexpr float denorm_min() noexcept { return min(); } static const int min_exponent = -125; static const int min_exponent10 = -37; static const int max_exponent = +128; static const int max_exponent10 = +38; static const bool has_infinity = true; static const bool has_quiet_NaN = true; static const bool has_signaling_NaN = true; static const float_denorm_style has_denorm = denorm_absent; static const bool has_denorm_loss = false; static const bool is_iec559 = true; static const bool is_bounded = true; static const bool is_modulo = false; static const bool traps = true; static const bool tinyness_before = true; static const float_round_style round_style = round_to_nearest; }; ``` 其中，`min()` 是最小的正规范化数，`epsilon` 是使 `1+epsilon−1` 大于 0 的最小正浮点数。 ### 2.4 自定义类型的数值限制 定义自定义标量类型时，最好提供相应的 `numeric_limits` 特化。若使用非数值类型，`numeric_limits` 主模板的 `is_specialized` 为 `false`，表示无可用信息。 ### 2.5 限制宏 C++ 从 C 继承了描述整数和浮点类型属性的宏。整数限制宏在 `<climits>` 中，浮点限制宏在 `<cfloat>` 和 `<float.h>` 中。如下表所示： | 宏名称 | 描述 | | ---- | ---- | | `CHAR_BIT` | char 的位数（通常为 8） | | `CHAR_MIN` | char 的最小值（可能为负） | | `CHAR_MAX` | char 的最大值（有符号时通常为 127，无符号时为 255） | | `INT_MIN` | int 的最小值 | | `LONG_MAX` | long 的最大值 | | `FLT_MIN` | 最小正 float 值 | | `FLT_MAX` | float 的最大值 | | `FLT_DIG` | float 的十进制精度位数 | | `FLT_MAX_10_EXP` | float 的最大十进制指数 | | `DBL_MIN` | double 的最小值 | | `DBL_MAX` | double 的最大值 | | `DBL_EPSILON` | 使 `1.0+DBL_EPSILON!=1.0` 的最小 double 值 | ## 3. 标准数学函数 `<cmath>` 中包含常见的标准数学函数，如绝对值、向上取整、向下取整、平方根、三角函数、双曲函数、指数函数和对数函数等。这些函数有接受 `float`、`double`、`long double` 和 `complex` 参数的版本，返回类型与参数类型相同。错误通过设置 `<cerrno>` 中的 `errno` 来报告，`EDOM` 表示定义域错误，`ERANGE` 表示范围错误。示例如下： ```cpp void f() { errno = 0; // clear old error state sqrt(-1); if (errno==EDOM) cerr << "sqrt() not defined for negative argument"; pow(numeric_limits<double>::max(),2); if (errno == ERANGE) cerr << "result of pow() too large to represent as a double"; } ``` 此外，`<cstdlib>` 中还有一些数学函数，如绝对值和除法函数。还有一个单独的 ISO 标准定义了特殊数学函数，实现可将其添加到 `<cmath>` 中。 ## 4. 复数 标准库提供了 `complex<float>`、`complex<double>` 和 `complex<long double>` 复数类型。`complex<Scalar>` 中 `Scalar` 支持常见算术运算，但不一定具有可移植性。 ```cpp template<typename Scalar> class complex { Scalar re, im; public: complex(const Scalar & r = Scalar{}, const Scalar & i = Scalar{}) :re(r), im(i) { } Scalar real() const { return re; } void real(Scalar r) { re=r; } Scalar imag() const { return im; } void imag(Scalar i) { im = i; } template<typename X> complex(const complex<X>&); complex<T>& operator=(const T&); complex& operator=(const complex&); ```