用于映射扩散MRI连接性的旋转不变完成场

### 用于映射扩散 MRI 连接性的旋转不变完成场 #### 1. 引言 偏微分方程（PDEs）在扩散磁共振成像（Diffusion MRI）的白质纤维束追踪中得到了广泛应用。这些方法具有诸多优势，比如可以通过直接计算连接图来找到两个区域之间理论上合理的连接度量，该连接图由 PDE 的稳态解表示；还能通过后处理步骤轻松找到最小成本路径；并且可以将来自各个方向的相关信息纳入框架，而不仅仅依赖纤维取向分布（FODs）的最大值。 部分基于 PDE 的纤维束追踪/连接性方法，试图找到各向异性介质中扩散方程变体的稳态解。不同的研究者采用了不同的方式对 PDE 进行改进和应用： |研究者|方法| | ---- | ---- | |O’Donnell 等人|直接处理各向异性介质中的扩散方程，使用三维张量作为传导张量，通过沿任何路径的稳态流来近似连接程度| |Batchelor 等人|在 PDE 中添加对流项，将各向异性度量纳入浓度流| |Hageman 等人|基于流体力学模型扩展概率一阶 PDE 方法，通过扩散张量场模拟流体流动，通过粘度项将局部各向异性值纳入 PDE| |Fletcher 等人|提出前沿演化方案来计算连接两个感兴趣区域的最小成本| |Pichon 等人|通过求解 Hamilton - Jacobi - Bellman 方程将 PDE 方法推广到高角分辨率扩散成像（HARDI）的情况| |Momayyez 等人|受计算机视觉中 2D 完成场模型的启发，提出了一种不同的计算模型，用 Fokker - Planck 方程描述水分子在 3D 定向随机游走中的概率密度，该方法与水分子在各向异性介质中的扩散这一物理过程紧密相关| 然而，Momayyez 等人提出的算法虽然数值稳定，且能通过基于每个体素计算的 FOD 设置扩散和衰减参数来方便地纳入局部扩散数据，但对 θ 和 φ（球坐标中的余纬度和方位角）的均匀采样会导致旋转方差问题。旋转方差意味着计算出的连接指数依赖于扩散加权图像（DWI）在给定全局坐标系中的方向，这显然是不可接受的。此外，均匀采样在 θ = 0 和 π 处会引入奇点，还会导致球面上的非均匀采样，使得球面上的样本密度随与极点的距离而变化。 为了解决这些问题，本文引入了一种新方法，使用球谐函数（SPH）基对与 3D 定向随机游走相关的概率密度函数的演化进行旋转不变的数值估计。同时，对 3D 定向随机游走进行了修改，使 Fokker - Planck 方程有两个额外的漂移项，以更好地利用局部纤维取向，提高模拟轨迹的连贯性。 #### 2. 背景：3D 随机完成场 在 3D 随机完成场模型中，使用 3D 定向随机游走对水分子的布朗运动进行建模。粒子在 $R^3 × S^2$ 中的状态 $(x, y, z, θ, φ)$ 根据以下一组微分方程更新： ```plaintext dx = sin θ cos φdt; dy = sin θ sin φdt; dz = cos θdt dθ = σθdB (θ) ; dφ = σφdB (φ) ; dB (θ) , dB (φ) ∼N (0, dt) . ``` 在该模型下，粒子倾向于沿当前方向直线移动，每一步后方向会有轻微变化。方向偏差由布朗运动项 $B (φ)$ 和 $B (θ)$ 控制，且与扩散参数 $\sigma^2_φ$ 和 $\sigma^2_θ$ 成正比。每个粒子还有一个平均寿命 ζ，这使得较短路径更受青睐。在这个模型中，粒子在连接源区域和汇区域时通过特定状态的概率由随机源场和随机汇场的乘积给出。此外，描述粒子在 3D 定向随机游走过程中概率密度随时间演化的 Fokker - Planck 方程为： ```plaintext ∂P ∂t = −sin θ cos φ∂P ∂x −sin θ sin φ∂P ∂y −cosθ∂P ∂z + σ2 φ 2 ∂2P ∂φ2 + σ2 θ 2 ∂2P ∂θ2 −1 ζ P. ``` 虽然之前的研究表明，使用 Lax - Wendroff 方案离散对流项，结合 Crank - Nicolson 方案处理扩散项，能够实现两个种子区域之间数值稳定的连接度量，但该实现存在严重局限性，由于对 φ 和 θ 的均匀采样，在极点处会出现奇点，并且由于球面上样本的非均匀密度而具有旋转变异性。 为了克服这些问题，本文使用球域中 PDE 的 SPH 公式来实现旋转不变性，该策略也可应用于其他需要在 PDE 中跟踪和更新 3D 方向的医学成像场景。同时，对上述模型提出了两项改进： - 对于方程中对流部分的处理，使用迎风差分方法替代 Lax - Wendroff 方案，以解决概率值传播的问题。 - 在算法中添加两个额外的角度对流步骤，更仔细地利用每个体素的局部纤维取向，减少高度弯曲纤维束的惩罚。 #### 3. 3D 定向随机游走的角度约束 在传统的定向随机游走中，粒子运动的随机分量仅限于完全布朗运动的方向变化。根据原始定义，粒子方向与 FOD 最大值对齐的概率与传入方向和最大值之间角度差的指数成反比。因此，与直纤维束相比，弯曲纤维束的概率值较低。在某些情况下，这种特性是可取的，但当底层数据支持更大的方向变化时，就需要消除这种偏差。 为了解决这个问题，本文提出了一种 3D 定向随机游走的变体，粒子状态的更新步骤如下： 1. **粒子在 3D 中沿当前方向移动** ```plaintext dx = sin θ cos φdt; dy = sin θ sin φdt; dz = cos θdt. ``` 2. **粒子方向的改变** 粒子的方向根据在密切平面和副法平面中的两个偏差进行改变，同时结合随机游走的随机运动。与原始定向随机游走不同的是，在每个步骤的方向变化 $dθ$ 和 $dφ$ 中添加了漂移项，漂移项与 $\mu_θ$ 和 $\mu_φ$ 成正比，它们根据当前方向与 FOD 最大值之间的角度差来设置。而扩散项 $\sigma^2_φ$ 和 $\sigma^2_θ$ 则像以前一样控制每一步允许的扩散量，构成定向随机游走的布朗分量。 ```plaintext dθ = μθdt+σθdB (θ) ; dφ = μφdt+σφdB (φ) ; dB (θ) , dB (φ) ∼N (0, dt) . ``` 这些随机微分方程通过非零漂移项将传入方向推向每个体素处最可能的方向，鼓励粒子在定向随机游走过程中跟随最近的 FOD 最大值，同时非零扩