通信编码技术：LDPC、Turbo与极化码的深度解析

### 通信编码技术：LDPC、Turbo与极化码的深度解析 #### 1. 编码技术的性能对比 在通信领域，编码技术对于保障信息传输的可靠性和效率至关重要。LDPC码、Turbo码和极化码是几种常见的编码方式，它们在延迟和复杂度方面各有特点。 从延迟方面来看，LDPC码本质上是并行的，而Turbo码本质上是串行的。这使得LDPC码比Turbo码更能支持低延迟应用。此外，Turbo码的误比特率（BER）相较于LDPC码有更高的误码平台，并且LDPC矩阵可以扩展到比LTE Turbo码更低的码率，从而在针对高可靠性的低码率应用中实现更高的编码增益。 极化码于2009年被提出，它是一种能够达到容量的编码，具有低编码和解码复杂度的特点。极化码在任何码长和码率下都能提供完全的灵活性和非常好的性能，且没有误码平台，即误块率（BLER）与信噪比（SNR）的斜率不会下降。 #### 2. 极化编码的基础概念 为了理解极化编码和解码的概念，我们需要先了解几个先决条件。 - **对称容量**：对称容量定义为当信道的所有输入符号等概率时所能达到的最高可能速率。对于输入字母表为 \(X = \{0, 1\}\) 的二进制输入离散无记忆信道，其互信息（对称容量）定义为： \[I(W) = \sum_{y \in Y} \sum_{x \in X} \frac{1}{2} W(y|x) \log_2 \frac{2W(y|x)}{W(y|0) + W(y|1)}\] 当信道 \(W\) 是对称信道时，对称容量等于香农容量。 - **Bhattacharyya参数**：Bhattacharyya参数 \(Z(W)\) 是在信道 \(W\) 上传输0或1时最大似然决策错误概率的上界，因此它是一种信道可靠性度量。其计算公式为： \[Z(W) = \sum_{y \in Y} \sqrt{W(y|0)W(y|1)}\] 对于任何二进制输入、离散、无记忆信道 \(W\)，\(I(W)\) 和 \(Z(W)\) 之间的关系可以描述为： \[I(W) \geq \log_2 \frac{1}{1 + Z(W)}\] \[I(W) \leq \sqrt{1 - Z(W)^2}\] 这意味着当且仅当 \(Z(W) = 0\) 或 \(Z(W) = 1\) 时，分别有 \(I(W) = 1\) 或 \(I(W) = 0\)。 极化码是第一种在低复杂度编码和低复杂度连续消除（SC）解码下，对于任意二进制输入离散无记忆信道能够达到对称容量的前向纠错码，对于无限长度的码，其复杂度为 \(O(N \log N)\)。极化码基于几个概念建立，包括信道极化、码构造、极化编码（这是正常编码过程的一种特殊情况，更具结构性）及其解码概念。 #### 3. 极化编码的过程 极化编码主要包括信道极化和码构造两个阶段。 - **信道极化**：信道极化是极化编码的第一阶段，在这个阶段，从 \(N\) 个独立的二进制输入离散无记忆信道副本中合成 \(N\) 个不同的信道 \(W^{(i)}_N\)（\(1 \leq i \leq N\)）。这些合成的信道是极化的，它们的互信息要么接近0（即噪声信道），要么接近1（即无噪声信道）。当 \(N\) 趋近于无穷大时，合成的信道会完全变为噪声或无噪声信道。 信道极化过程包括两个阶段： - **信道合并**：在 \(n = \log_2 N\) 步中，通过递归地合并 \(N\) 个二进制输入离散无记忆信道的副本，形成一个向量信道 \(W_N: X^N \to Y^N\)，其中 \(N\) 必须是2的整数次幂。 - **信道分裂**：将信道 \(W_N\) 分裂成 \(N\) 个二进制输入信道 \(W^{(i)}_N: X \to Y^N \times X^{i - 1}\)（\(1 \leq i \leq N\)）。未编码的信息比特通过可靠或无噪声的信道以速率1传输，而冻结比特通过不可靠或噪声信道传输。 下面是信道极化过程的mermaid流程图： ```mermaid graph TD; A[二进制输入离散无记忆信道副本] --> B(信道合并); B --> C[向量信道WN]; C --> D(信道分裂); D --> E[合成的N个信道]; E --> F[可靠信道传输信息比特]; E --> G[噪声信道传输冻结比特]; ``` - **码构造**：极化码构造是从 \(N\) 个信道中选择 \(K\) 个好信道的过程，未编码的信息比特将通过这些好信道传输。信息集 \(A\) 的选择是依赖于信道的。对于有限长度的极化码，合成的信道并没有完全极化，因此在准极化信道上的比特错误是不可避免的。所以，极化码构造阶段对于获得最佳性能至关重要。 为了构造极化码，选择 \(K\) 个可靠信道以最小化它们的Bhattacharyya参数值之和 \(\sum_{i \in A} Z(W^{(i)}_N)\)，从而最小化构造的极化码的块错误概率的上界。 对于二进制擦除信道，可以使用递归公式计算Bhattacharyya参数，复杂度为 \(O(N)\)： \[Z(W^{(2j - 1)}_N) = 2Z(W^{(j)}_{N/2}) - Z(W^{(j)}_{N/2})^2\] \[Z(W^{(2j)}_N) = Z(W^{(j)}_{N/2})^2\] \[Z(W^{(1)}_1) = E\] 然而，对于加性高斯白噪声（AWGN）信道，目前还没有已知的有效算法来计算每个合成信道的Bhattacharyya参数。为了降低复杂度，可以通过计算每个合成信道的Bhattacharyya参数的估计值来近似精确的极化码构造。文献中提出了几种具有不同计算复杂度的次优构造方法。 极化码与Reed - Muller码的主要区别在于信息集 \(A\) 的选择。在Reed - Mu