5G通信中的数据传输与数学分析工具

# 5G 通信中的数据传输与数学分析工具 ## 1. 宽带无线有效载荷：分组交换数据 ### 1.1 物理层协议（第 1 层） 物理层是协议栈的最底层。和数据链路层一样，TCP/IP 并未为该层定义特定协议，但支持所有标准和专有协议。此层负责不同设备通过物理介质进行的比特传输，物理介质可以是电缆、光纤或设备间的空气。它规定了建立网络连接所需硬件的特性，还会在必要时规定机械特性（如连接器形状和尺寸）以及电气特性（如电压、频率、比特率等）的规则。 ### 1.2 基于 IP 的语音传输（VoIP） 狭义上，基于互联网协议的语音传输（VoIP）仅指通过 IP 链路进行语音通信；广义且更实际的意义是，网络中至少有一部分是 IP 链路的语音通信。在全 IP 的 VoIP 网络中，通信过程概念上较为简单： 1. 模拟语音信号转换为数字流，通常速率为 64 kb/s。 2. 该数据流通常使用编解码器（一种压缩/解压缩设备）进行压缩。 3. 压缩流中的比特被分组。 4. 这些分组通过 IP 网络传输到目的地。 5. 在目的地，它们被转换回原始数据流，最终再转换回模拟信号。 基于 IPv4 的 VoIP 分组结构中，语音有效载荷数据前添加了一个新的头部，即实时传输协议（RTP）头部，由 IETF 开发，通常为 12 字节。RTP 协议用于促进 IP 网络上音频和视频的传输，通常运行在 UDP 之上，可解决 UDP 传输中可能出现的抖动补偿、分组丢失检测和乱序交付等问题。IPv4 下总分组头部大小为 40 字节。 由于 5G 网络仅支持分组服务，因此这些网络上的语音服务必须通过 VoIP 实现。自适应多速率（AMR）编解码器是创建 VoIP 数据最常用的编解码器，有 AMR - 窄带（AMR - NB）和 AMR - 宽带（AMR - WB）两个版本。 |编解码器类型|采样率|音频带宽|输出数据速率范围|常用速率| | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | |AMR - NB|8 kHz|300 - 3400 Hz|4.75 - 12.2 kb/s| - | |AMR - WB|16 kHz|50 - 7000 Hz|6.6 - 28.85 kb/s|12.65 kb/s| 在相同数据速率下，AMR - WB 提供的语音质量明显优于 AMR - NB，这是因为 AMR - WB 的音频带宽更宽。VoIP 分组中语音有效载荷数据的大小取决于编码速率和语音采样周期，通常语音采样周期为 20 ms。以 12.65 kb/s 的编码速率为例，每 20 ms 生成 253 比特，即 31.625 字节，但数据有效载荷以整数字节传输，所以为 32 字节。IPv4 下总 VoIP 分组为 72 字节，头部开销占总分组的 55%；若为 IPv6，分组头部大小为 60 字节，头部开销将达 65%。为减少这种高开销，通常会使用鲁棒头部压缩（ROHC）技术，可将 40 或 60 字节的开销通常压缩至仅 1 或 3 字节。 ### 1.3 基于 IP 的视频传输 从技术角度看，基于 IP 的视频传输与基于 IP 的语音传输相同，只是数据速率更高，这是因为视频的信息含量远高于语音。未压缩的视频速率非常高，因此需要大量压缩以实现可管理的传输速率。视频信号压缩是一个复杂过程，其可行的原因在于视频信号未压缩格式存在冗余，以及视觉感知的某些特性可被利用。实际上，视频压缩主要传输视频帧之间的差异，而非完整传输每一帧。 以最流行的 H.264 高级视频编码（H.264/AVC）标准为例，未压缩视频数据速率 VRUC 的计算公式为： \[VRUC = 颜色深度×垂直像素数×水平像素数×刷新率（帧/秒）\] 对于 1080p 高清视频格式，颜色深度为 24，垂直像素 1080，水平像素 1920，刷新率 30，VRUC 计算结果为 1493 Mb/s。H.264 有多种配置文件，其“基线”配置文件压缩率可达约 1000:1，“高”配置文件可达约 2000:1。但随着压缩率增加，图像质量会下降，因此通常使用的压缩率有实际限制。对于上述 1080p 格式，约 5 Mb/s 或更高的压缩比特率才能达到最低可接受的图像质量，此时压缩率约为 300。对于 4K 超高清视频（2160 垂直×3890 水平像素），约 15 Mb/s 的压缩比特率可达到最低可接受质量，约 25 Mb/s 可达到良好质量。 ## 2. 数字传输分析的数学工具 ### 2.1 引言 数字无线传输研究主要包括：发射机将二进制数字信号（基带信号）转换为调制射频信号；调制信号通过大气传输；信号受噪声和其他干扰信号影响；接收机接收受损信号；接收机尽可能恢复原始基带信号。为分析这种传输，需要从数学上对时间、频率和概率域，以及基带信号、调制射频信号、噪声和受损信号进行表征。本章将简要回顾用于这些表征的主要分析工具，即频谱分析和相关统计方法。 频谱分析可在频域表征信号，并提供频域和时域表征之间的关系。噪声和传播异常是随机过程，会导致恢复信号的完整性存在不确定性。因此，在没有纠错干预的情况下，无法确定恢复信号的正确性。通过统计方法，可以根据恢复基带信号出错的概率来计算其保真度。 ### 2.2 非周期函数的频谱分析 #### 2.2.1 傅里叶变换 非周期时间函数是随时间不重复的函数。数字通信系统传输的二进制数据流就是非周期函数流，每个脉冲为 1 或 0 的概率相等，且与流中其他脉冲的值无关。因此，分析非周期函数的频谱特性是数字传输研究的重要组成部分。 非周期波形 \(v(t)\) 可通过以下关系用其频率特性表示： \[v(t)=\int_{-\infty}^{\infty}V(f)e^{j2\pi ft}df\] 其中，\(V(f)\) 是 \(v(t)\) 的幅度频谱密度或傅里叶变换，计算公式为： \[V(f)=\int_{-\infty}^{\infty}v(t)e^{-j2\pi ft}dt\] 由于 \(V(f)\) 从 \(-\infty\) 延伸到 \(+\infty\)，即存在于零频率轴两侧，所以被称为双边频谱。 在数字通信研究中，傅里叶变换的一个应用实例是确定非周期脉冲的频谱。对于幅度为 \(V\)，从 \(t = - \tau/2\) 到 \(t = \tau/2\) 的脉冲 \(v(t)\)，其傅里叶变换 \(V(f)\) 为： \[V(f)=\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}Ve^{-j2\pi ft}dt=\frac{V}{-j2\pi f}(e^{-j2\pi f\frac{\tau}{2}} - e^{j2\pi f\frac{\tau}{2}})=V\tau\frac{\sin(\pi f\tau)}{\pi f\tau}\] \(\frac{\sin x}{x}\) 形式被称为采样函数 \(Sa(x)\)。\(V(f)\) 的图形是连续的，这是所有非周期波形频谱的共同特征，且在 \(\pm\frac{1}{\tau},\pm\frac{2}{\tau},\cdots\) 处有零交叉点。 单位强度冲激函数 \(\delta(t)\) 的傅里叶变换 \(V(f)\) 为： \[V(f)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-2\pi jft}dt = 1\] 这表明冲激函数 \(\delta(t)\) 的频谱具有恒定的幅度和相位，且从 \(-\infty\) 延伸到 \(+\infty\)。 当信号 \(m(t)\)（傅里叶变换为 \(M(f)\)）与频率为 \(f_c\) 的正弦信号相乘时，在时域中结果信号为： \[v(t)=m(t)\cdot\cos(2\pi f_ct)=m(t)\frac{e^{j2\pi f_ct}+e^{-j2\pi f_ct}}{2}\] 其傅里叶变换为： \[V(f)=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}m(t)e^{-j2\pi(f + f_c)t}dt+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}m(t)e^{-j2\pi(f - f_c)t}dt=\frac{1}{2}M(f + f_c)+\frac{1}{2}M(f - f_c)\] #### 2.2.2 离散傅里叶变换和逆离散傅里叶变换 离散傅里叶变换（DFT）和傅里叶变换一样，将信号从时域转换到频域。但它要求输入函数是离散的，且非零值持续时间有限，输出函数也是离散的。由于其输入函数是有限的实或复数序列，DFT 广泛用于信号处理中分析采样信号的频率。 时间域的 \(N\) 个复数序列 \(x_0,\cdots,x_{N - 1}\) 通过 DFT 转换为频率域的 \(N\) 个复数序列 \(X_0,\cdots,X_{N - 1}\)，公式为： \[X_k=\sum_{n = 0}^{N - 1}x_ne^{-j\frac{2\pi kn}{N}},k = 0,\cdots,N - 1\] 逆离散傅里叶变换（IDFT）将信号从频域转换到时域，公式为： \[x_n=\frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N - 1}X_ke^{j\frac{2\pi kn}{N}},n = 0,\cdots,N - 1\] 简单来说，复数 \(X_k\) 表示输入信号 \(x_k\) 不同正弦分量的幅度和相位。DFT 从有限的时域样本序列 \(x_n\) 计算 \(X_k\)，而 IDFT 从有限的正弦分量序列 \(X_k\) 计算 \(x_n\)。标准数字信号处理（DSP）符号中，小写字母表示时域信号，大写字母表示其频域分量。实际中，DFT/IDFT 可通过快速傅里叶变换（FFT）/逆快速傅里叶变换（IFFT）高效计算。 #### 2.2.3 线性系统响应 线性系统在频域中，给定频率下的输出幅度与该频率下的输入幅度成固定比例，输出相位与该频率下的输入相位有固定差值，与输入信号的绝对值无关。这样的系统可以用复传递函数 \(H(f)\) 来表征： \[H(f)=|H(f)|e^{-j\theta(2\pi f)}\] 其中，\(|H(f)|\) 表示绝对幅度特性，\(\theta(2\pi f)\) 表示 \(H(f)\) 的相位特性。 对于具有复传递函数 \(H(f)\) 的线性系统，输入信号为 \(v_i(t)\)，输出信号为 \(v_o(t)\)，对应的频谱幅度密度分别为 \(V_i(f)\) 和 \(V_o(f)\)。信号通过系统后，\(V_i(f)\) 会变为 \(V_i(f)H(f)\)，即： \[V_o(f)=V_i(f)H(f)\] \[v_o(t)=\int_{-\infty}^{\infty}V_i(f)H(f)e^{j2\pi ft}df\] 当线性系统的输入为单位强度的冲激函数时，根据前面的结论 \(V_i(f) = 1\)，则 \(V_o(f)=H(f)\)。这表明线性系统对单位强度冲激函数的输出响应就是该系统的传递函数。 #### 2.2.4 能量和功率分析 在通信系统中考虑能量和功率时，通常假设能量在 1 欧姆电阻中耗散，这样就无需考虑实际电阻值 \(R\) 的影响。此时，我们称能量为归一化能量，功率为归一化功率。可以证明，非周期波形 \(v(t)\)（傅里叶变换为 \(V(f)\)）的归一化能量 \(E\) 为： \[E=\int_{-\infty}^{\infty}[v(t)]^2dt=\int_{-\infty}^{\infty}|V(f)|^2df\] 这个关系被称为帕塞瓦尔定理。如果需要实际能量，只需将上述公式得到的 \(E\) 除以 \(R\) 即可。 波形的能量密度 \(D_e(f)\) 是 \(dE(f)/df\)，通过对上述能量公式右边求导可得： \[D_e(f)=\frac{dE(f)}{df}=|V(f)|^2\] 对于单个脉冲这样的非周期函数，归一化能量是有限的，但功率（单位时间的能量）趋近于零，因此在这种情况下功率意义不大。然而，一系列相邻的二进制非周期脉冲具有有意义的平均归一化功率 \(P\)，它等于每个脉冲的归一化能量 \(E\) 乘以每秒的脉冲数 \(f_s\)，即： \[P = Ef_s\] 如果每个脉冲的持续时间为 \(\tau\)，则 \(f_s = 1/\tau\)。将此关系和能量公式代入功率公式可得： \[P=\frac{1}{\tau}\int_{-\infty}^{\infty}|V(f)|^2df\] 波形的功率谱密度（PSD）\(G(f)\) 是 \(dP(f)/df\)，对功率公式右边求导可得： \[G(f)=\frac{dP(f)}{df}=\frac{1}{\tau}|V(f)|^2\] 为了确定线性传递函数 \(H(f)\) 对归一化功率的影响，将 \(V_o(f)=V_i(f)H(f)\) 代入功率公式，可得线性网络输出端的归一化功率 \(P_o\) 为： \[P_o=\frac{1}{\tau}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2|V_i(f)|^2df\] 同时，由 \(V_o(f)=V_i(f)H(f)\) 可得： \[\frac{|V_o(f)|^2}{\tau}=\frac{|V_i(f)|^2}{\tau}|H(f)|^2\] 将功率谱密度公式代入上式，可得出线性网络输出端的功率谱密度 \(G_o(f)\) 与输入端的功率谱密度 \(G_i(f)\) 的关系为： \[G_o(f)=G_i(f)|H(f)|^2\] ### 2.3 统计方法 我们现在将注意力从时间和频率域转向概率域，在概率域中会采用统计分析方法。正如前面所述，由于传输过程中引入噪声和其他因素导致结果存在不确定性，因此需要这类方法。 #### 2.3.1 累积分布函数和概率密度函数 随机变量 \(X\) 是一个将唯一数值 \(X(\lambda_i)\) 与产生随机结果的事件的每个结果 \(\lambda_i\) 相关联的函数。随机变量的值会因事件而异，根据事件的性质，它可以是离散的或连续的。例如，抛硬币四次出现正面的次数 \(X_d\) 是离散随机变量，因为它只能取 0、1、2、3 和 4 这些值；而射手的子弹孔与靶心的距离 \(X_c\) 是连续随机变量，因为这个距离可以取任意值。 随机变量的两个重要函数是累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。 随机变量 \(X\) 的累积分布函数 \(F(x)\) 定义为： \[F(x)=P[X(\lambda)\leq x]\] 其中 \(P[X(\lambda)\leq x]\) 是随机变量 \(X\) 取值小于或等于 \(x\) 的概率。 累积分布函数 \(F(x)\) 具有以下性质： 1. \(0\leq F(x)\leq1\) 2. 若 \(x_1\leq x_2\)，则 \(F(x_1)\leq F(x_2)\) 3. \(F(-\infty)=0\) 4. \(F(+\infty)=1\) 随机变量 \(X\) 的概率密度函数 \(f(x)\) 是 \(F(x)\) 的导数，即： \[f(x)=\frac{dF(x)}{dx}\] 概率密度函数 \(f(x)\) 具有以下性质： 1. 对于所有 \(x\) 的值，\(f(x)\geq0\) 2. \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1\) 此外，由累积分布函数和概率密度函数的定义可得： \[F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(z)dz\] 下面通过一个例子来帮助理解 PDF \(f(x)\) 和 CDF \(F(x)\) 的概念。如图 3.4a 所示的四级脉冲幅度调制（PAM）信号，每个脉冲的幅度是随机的，且等可能地占据四个电平中的任意一个。如果定义随机变量 \(X\) 为信号电平 \(v\)，\(P(v = x)\) 是 \(v = x\) 的概率，那么： \[P(v = -3)=P(v = -1)=P(v = +1)=P(v = +3)=0.25\] 根据这个概率信息，我们可以确定相关的 CDF \(F_{4L}(v)\)。例如，当 \(v = -1\) 时： \[F_{4L}(-1)=P(v\leq -1)=P(v = -3)+P(v = -1)=0.5\] 类似地，可以确定 \(F_{4L}(v)\) 对于其他 \(v\) 值的情况。\(F_{4L}(v)\) 与 \(v\) 的关系图如图 3.4b 所示。 通过对 \(F_{4L}(v)\) 关于 \(v\) 求导，可以得到对应的 PDF \(f_{4L}(v)\)。由于 \(F_{4L}(v)\) 的阶跃值为 0.25，所以： \[f_{4L}(-3)=f_{4L}(-1)=f_{4L}(+1)=f_{4L}(+3)=0.25\] \(f_{4L}(v)\) 与 \(v\) 的关系图如图 3.4c 所示。 ### 总结 在 5G 通信中，数据传输涉及多个方面的技术和知识。从宽带无线有效载荷的分组交换数据来看，物理层协议为数据传输提供了基础的硬件和传输规则。基于 IP 的语音和视频传输是常见的应用场景，其中语音传输需要考虑编解码器的选择和头部压缩以减少开销，视频传输则需要进行大量的压缩以实现可管理的传输速率。 在数字传输分析方面，频谱分析和统计方法是重要的数学工具。频谱分析通过傅里叶变换、离散傅里叶变换等方法，可以在频域对信号进行表征，帮助我们理解信号的频率特性。线性系统响应的分析让我们了解信号在系统中的传输变化。而统计方法通过累积分布函数和概率密度函数，处理随机变量带来的不确定性，为评估信号传输的保真度提供了依据。这些技术和工具相互配合，共同保障了 5G 通信的高效、稳定运行。 下面用 mermaid 流程图展示全 IP 的 VoIP 网络通信过程： ```mermaid graph LR A[模拟语音信号] --> B(转换为数字流，64 kb/s) B --> C(使用编解码器压缩) C --> D(比特分组) D --> E(通过 IP 网络传输) E --> F(在目的地转换回原始数据流) F --> G(转换回模拟信号) ``` 再用表格总结不同视频格式的相关参数： |视频格式|颜色深度|垂直像素数|水平像素数|刷新率（帧/秒）|未压缩数据速率（Mb/s）|最低可接受压缩比特率（Mb/s）|良好质量压缩比特率（Mb/s）| | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | |1080p 高清|24|1080|1920|30|1493|约 5| - | |4K 超高清| - |2160|3890| - | - |约 15|约 25| 通过这些内容，我们可以更全面地了解 5G 通信中的数据传输和相关的数学分析方法，为进一步研究和应用提供了坚实的基础。