机器学习中的多模型方法与偏好模型解析

### 机器学习中的多模型方法与偏好模型解析 #### 1. 多模型方法在非线性回归中的应用 多模型方法是一种强大的工具，可用于用一组线性时不变局部模型来表示非线性动态系统。下面以连续搅拌釜式反应器为例进行说明。 ##### 1.1 连续搅拌釜式反应器模型 连续搅拌釜式反应器配备有夹套，夹套中流动的冷却液可控制反应器内物料的温度。该系统的非线性状态空间方程如下： \(\dot{C}_A = \frac{q}{V} (C_{Af} - C_A) - k_0 C_A e^{-\frac{E}{RT}}\) \(\dot{T} = \frac{q}{V} (T_f - T) - \frac{\Delta H k_0}{\rho C_p} C_A e^{-\frac{E}{RT}} + \frac{\rho_c C_{pc}}{\rho C_p V} q_c \left(1 - e^{-\frac{hA}{\rho_c C_{pc} q_c}}\right) (T_{cf} - T)\) 其中，\(C_A\) 表示出口产品浓度，\(T\) 是混合物的温度，\(q_c\) 表示冷却液流量，它是控制变量。 ##### 1.2 构建多模型 我们希望构建一个多模型，使其覆盖 \(C_A \in [0.06, 0.13]\) 的操作范围。为此，需要定义 \(L\) 个局部模型，每个局部模型对应一个特定的操作点 \((C_A^{(i)}, q_c^{(i)}, T^{(i)})\)，\(i = 1, \cdots, L\)。这些操作点必须满足以下平衡条件： \(\frac{q}{V} (C_{Af} - C_A^{(i)}) - k_0 C_A^{(i)} e^{-\frac{E}{RT^{(i)}}} = 0\) \(\frac{q}{V} (T_f - T^{(i)}) - \frac{\Delta H k_0}{\rho C_p} C_A^{(i)} e^{-\frac{E}{RT^{(i)}}} + \frac{\rho_c C_{pc}}{\rho C_p V} q_c^{(i)} \left(1 - e^{-\frac{hA}{\rho_c C_{pc} q_c^{(i)}}}\right) (T_{cf} - T^{(i)}) = 0\) 对满足上述平衡条件的操作点 \((C_A^{(i)}, q_c^{(i)}, T^{(i)})\) 附近的系统进行线性化，得到： \(\delta \dot{x} = A_i \delta x + B_i \delta q_c\) 其中，\(\delta x = x - x^{(i)}\)，\(x = [C_A T]^T\)，\(x^{(i)} = [C_A^{(i)} T^{(i)}]^T\)，\(\delta q_c = q_c - q_c^{(i)}\)。 矩阵 \(A_i\) 和 \(B_i\) 分别为： \(A_i = \begin{bmatrix} -\frac{q}{V} - k_0 e^{-\frac{E}{RT^{(i)}}} & -\frac{E}{R(T^{(i)})^2} k_0 C_A^{(i)} e^{-\frac{E}{RT^{(i)}}} \\ -\frac{\Delta H}{\rho C_p} k_0 e^{-\frac{E}{RT^{(i)}}} & -\frac{q}{V} - \frac{\Delta H}{\rho C_p} \frac{E}{R(T^{(i)})^2} k_0 C_A^{(i)} e^{-\frac{E}{RT^{(i)}}} - \frac{\rho_c C_{pc}}{\rho C_p V} q_c^{(i)} \left(1 - e^{-\frac{hA}{\rho_c C_{pc} q_c^{(i)}}}\right) \end{bmatrix}\) \(B_i = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\rho_c C_{pc}}{\rho C_p V} \left(1 - e^{-\frac{hA}{\rho_c C_{pc} q_c^{(i)}}} \left(1 + \frac{hA}{\rho_c C_{pc} q_c^{(i)}}\right)\right) (T_{cf} - T^{