基于水平集和核模糊聚类的结肠细胞图像分割算法研究

# 基于水平集和核模糊聚类的结肠细胞图像分割算法研究 在图像分割领域，结肠细胞图像的准确分割对于医学诊断和研究具有重要意义。本文将介绍一种新颖的监督核模糊 c - 均值聚类算法（SKFCM），并通过实验验证其在结肠细胞图像分割中的有效性。 ## 一、相关算法基础 ### 1.1 基于密度模型混合的贝叶斯分类器 对于每个像素 ξ，我们有如下假设： \[ \xi \in C_i \Leftrightarrow p(C_i|\xi) \geq p(C_j|\xi) \] 其中，\(C_1 = \{ \xi | \varnothing_{x,y} \geq 0 \}\) 且 \(C_2 = \frac{1}{2}C_1 / \Omega\)。 我们可以基于密度模型混合实现贝叶斯分类器来计算类条件密度。\(p(C_i|\xi)\) 的计算公式如下： \[ p(C_i|\xi) = \sum_{l = 1}^{R} p(r_l|\xi)P(C_i|r_l) \quad \text{for } i = 1,2 \] 这里 \(R > 2\)，\(p(r_l|\xi)\) 表示从第 \(l\) 个局部模型导出的 ξ 的后验概率，\(P(C_i|r_l)\) 表示该模型代表类 \(C_i\) 的先验概率。 基于贝叶斯规则，\(p(r_l|\xi)\) 可以写成： \[ p(r_l|\xi) = \frac{p(\xi|r_l)P(r_l)}{\sum_{j = 1}^{R} p(\xi|r_j)P(r_j)} \] 因此，后验类概率可以表示为： \[ p(C_i|\xi) = \frac{\sum_{l = 1}^{R} p(\xi|r_l)P(r_l)P(C_i|r_l)}{\sum_{l = 1}^{R} p(\xi|r_l)P(r_l)} \] 其中， \[ p(\xi|r_l) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|F_i|^{1/2}} \exp \left( -\frac{1}{2} (\xi - \mu_i)^T F_i^{-1} (\xi - \mu_i) \right) \] \(\mu_i\) 和 \(F_i\) 分别表示 \(r_i\) 中像素的均值和协方差矩阵。 ### 1.2 监督核模糊 c - 均值聚类算法 由上述公式（13）给出的先验隶属度记为 \(\aleph_{ij}\)，表达式如下： \[ \aleph_{ij} = \left[ \frac{p(C_i|\xi_j)}{\sum_{i = 1}^{2} p(C_i|\xi_j)} \right] \quad i = 1,2; j = 1, \cdots, n \] 为了提高 KFCM 的性能，我们将 \(\aleph\) 作为监督学习的一个组成部分，融入到修改后的 KFCM 目标函数中： \[ J_{SKFCM}(u, v) = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{n} u_{ij}^m d(\xi_j, v_i) + \gamma \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{n} u_{ij}^m \aleph_{ij} \] 其中，\(\{ \mathcal{C}_i \} = \{ 1,2 \}\)，\(\gamma\) 是一个控制参数，用于在优化过程中平衡原始 KFCM 和 CV 方法。 为了在考虑约束条件（6）的情况下找到 \(v_i\) 和 \(u_{ij}\) 的最优值，我们引入拉格朗日乘数 \(\lambda\) 并最小化以下拉格朗日函数 \(\mathcal{L}\)： \[ \mathcal{L}(U, V, \lambda) = \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{n} u_{ij}^m d(x, y) + \gamma \sum_{i = 1}^{2} \sum_{j = 1}^{n} u_{ij}^m \aleph_{ij} + \lambda \sum_{j = 1}^{n} \left( \sum_{i = 1}^{2} u_{ij} - 1 \right) \] 假设 \(u_{kj}\) 是 \(\xi_j\) 属于质心为 \(v_k\) 的簇 \(k\) 的隶属度。优化泛函的驻点可以通过以下条件获得： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v_k} = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{kj}} = 0 \] 通过求导得到以下关系： \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = \sum_{i = 1}^{2} u_{kj} - 1 = 0 \] \(v_k\) 的最优解为： \[ v_k = \frac{\sum_{j = 1}^{n} u_{kj}^m (K(\xi_j, v_k) - 1) \xi_j}{\sum_{j = 1}^{n} u_{kj}^m (K(\xi_j, v_k) - 1)} \] 同样，对 \(\mathcal{L}\) 关于 \(u_{ij}\) 求导并令其为零： \[ 2m u_{kj}^{m - 1} (1 - k(\xi_j, v_k)) + \gamma m u_{kj}^{m - 1} \aleph_{kj} - \lambda = 0 \] 设 \(m = 2\)，则 \(u_{kj}\) 的表达式为： \[ u_{kj} = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{2} \left( \frac{2(1 - k(\xi_j, v_i)) + \gamma \al