算术与晶体测度：套索图的深入分析

# 算术与晶体测度：套索图的深入分析 ## 1. 狄拉克梳相关项与晶体测度 在对相关问题的研究中，涉及到与环相关的狄拉克梳对应的项，其表达式为： \[ \hat{\mu}^*(l) = 2L\delta + \sum_{\gamma \in P} l(\text{prim}(\gamma))S_v(\gamma) (\delta_{l(\gamma)} + \delta_{-l(\gamma)}) - \sum_{j = 1}^{\nu} \ell_j \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta_{\ell_j n} \] \[ = \left(2L - \sum_{j = 1}^{\nu} \ell_j\right)\delta + \sum_{\gamma \in P} l(\text{prim}(\gamma))S_v(\gamma) (\delta_{l(\gamma)} + \delta_{-l(\gamma)}) - \sum_{j = 1}^{\nu} \ell_j \sum_{n = 1}^{\infty} (\delta_{\ell_j n} + \delta_{-\ell_j n}) \] 需要注意的是，所有被减去的项都包含在所有周期轨道的总和中，它们对应于沿着一个特定环在一个特定方向上多次移动所得到的轨道。每个环只考虑一个方向，因为由这些环确定的特征值的重数为 1，而不像单循环图那样重数为 2。涉及任意两个环的周期轨道不会被减去。通过分析可知，\(\mu^*\) 是一种晶体测度，接下来需要证明这个测度并非平凡的。在考虑一般情况之前，我们先来研究套索图的谱。 ## 2. 套索图与晶体测度 ### 2.1 约化久期多项式的零集 我们研究与套索图 \(\Gamma_{(2.2)}\) 相关的测度。约化久期多项式 \(P_{(2.2)}^* = 3z_1z_2^2 - z_2^2 + z_1 - 3\) 在实环面 \(\mathbb{T}^2\) 上的零集具有重要性质。该多项式是 \(\mathbb{D}\) - 稳定的，即它在 \(\mathbb{D}^2\) 内没有零点，其中 \(\mathbb{D} = \{z : |z| < 1\}\) 是开单位圆盘。为了说明这一点，我们将方程 \(P_{(2.2)}^*(z) = 0\) 写为 \(z_2^2 = \frac{z_1 - 3}{1 - 3z_1}\)。 莫比乌斯变换 \(z_1 \mapsto \frac{z_1 - 3}{1 - 3z_1}\) 将单位圆盘映射到其补集，因此该方程在 \(\mathbb{D}^2\) 内无解。此外，我们有： \[ P_{(2.2)}^*\left(\frac{1}{z_1}, \frac{1}{z_2}\right) = 3\frac{1}{z_1}\frac{1}{z_2^2} - \frac{1}{z_2^2} - \frac{1}{z_1} - 3 = -z_1^{-1}z_2^{-2}(3z_1z_2^2 - z_2^2 + z_1 - 3) = -z_1^{-1}z_2^{-2}P_{(2.2)}^*(z_1, z_2) \] 这一关系表明，如果 \((z_1, z_2)\)（\(z_j \neq 0\)）是 \(P_{(2.2)}^*\) 的零点，那么 \((\frac{1}{z_1}, \frac{1}{z_2})\) 也是零点。因此，久期方程 \(P_{(2.2)}^*(e^{ik\ell_1}, e^{ik\ell_2}) = 0\) 不可能有非实解 \(k_j \notin \mathbb{R}\)。假设存在这样的解 \(k_j\)，若 \(\text{Im} k_j > 0\)，则 \(z_j = e^{ik\ell_j}\)（\(j = 1, 2\)）在单位圆盘内，且 \(P_{(2.2)}^*(z_1, z_2) = 0\)，这与 \(P_{(2.2)}^*\) 的稳定性矛盾；若 \(\text{Im} k_j < 0\)，则 \(\frac{1}{z_j} = e^{-ik\ell_j}\)（\(j = 1, 2\)）在单位圆盘内，根据上述关系可得 \(P_{(2.2)}^*\left(\frac{1}{z_1}, \frac{1}{z_2}\right) = 0\)，同样与 \(P_{(2.2)}^*\) 的稳定性矛盾。 ### 2.2 度量图的约化谱 度量图的约化谱是通过直线 \((k\ell_1, k\ell_2)\) 与函数 \(L_{(2.2)}^*(\phi_1, \phi_2) = 3\sin(\frac{\phi_1}{2} + \phi_2) + \sin(\frac{\phi_1}{2} - \phi_2)\) 的零集相交得到的。 该函数具有非零梯度： \[ \nabla L_{(2.2)}^* = \left(\frac{3}{2}\cos(\frac{\phi_1}{2} + \phi_2) + \frac{1}{2}\cos(\frac{\phi_1}{2} - \phi_2), 3\cos(\frac{\phi_1}{2} + \phi_2) - \cos(\frac{\phi_1}{2} - \phi_2)\right) \] 这意味着 \(L_{(2.2)}^*\) 的零集是实环面 \(\mathbb{T}^2\) 上的一条光滑曲线。而且，曲线的法向量位于第一象限，因为梯度的分量具有相同的符号： \[ \frac{\partial L_{(2.2)}^*}{\partial \phi_1}\frac{\partial L_{(2.2)}^*}{\partial \phi_2} = \frac{1}{2}(9\cos^2(\frac{\phi_1}{2} + \phi_2) - \cos^2(\frac{\phi_1}{2} - \phi_2)) = \frac{1}{2}