智能执行器磁滞的最优控制

### 智能执行器磁滞的最优控制 #### 1. 体铁磁滞回线模型 铁磁滞回线的研究中，Jiles和Atherton提出了一个低维模型，该模型基于材料中磁畴壁与夹杂物或钉扎点相交导致的能量损失量化。Venkataraman和Krishnaprasad对Jiles - Atherton模型进行了修改，严格运用能量平衡原理，得到了体铁磁滞回线模型，其形式与Jiles - Atherton模型略有不同。此外，他们还基于能量平衡原理推导了考虑高频效应的体磁致伸缩滞回模型。在低频情况下，磁致伸缩可通过平方定律与体磁化强度相关联，因此控制体磁化强度就相当于控制磁致伸缩。下面简要概述体铁磁滞回线模型。 对于外部磁场$H$和体磁化强度$M$，定义有效场$H_e = H + αM$，其中$α$是表示磁畴间耦合的平均场参数。通过热力学考虑，无磁滞磁化强度$M_{an}$可表示为： $M_{an}(H_e) = M_s(\coth(\frac{H_e}{a}) - \frac{a}{H_e}) = M_sL(z)$ 其中$L(·)$是朗之万函数，$L(z) = \coth(z) - \frac{1}{z}$，$z = \frac{H_e}{a}$，$M_s$是材料的饱和磁化强度，$a$是表征$M_{an}$曲线形状的参数。 定义： $f_1(H, M) = \frac{c}{M_s}\frac{\partial L(z)}{\partial z}a - αcM_s\frac{\partial L(z)}{\partial z}$ $f_2(H, M) = \frac{ckM_s\frac{\partial L(z)}{\partial z} - µ_0a(M_{an}(H_e) - M)}{k(a - αcM_s\frac{\partial L(z)}{\partial z}) + µ_0αa(M_{an}(H_e) - M)}$ $f_3(H, M) = \frac{ckM_s\frac{\partial L(z)}{\partial z} + µ_0a(M_{an}(H_e) - M)}{k(a - αcM_s\frac{\partial L(z)}{\partial z}) - µ_0αa(M_{an}(H_e) - M)}$ 其中$c$是可逆性常数，$µ_0$是真空磁导率，$k$是破坏钉扎点所需的平均能量的度量。每个$f_i$在$H$和$M$上都是光滑的。 体铁磁滞回线模型如下： $\frac{dM}{dH} = f_i(H, M)$，其中$i = \begin{cases}1, & dH < 0, M < M_{an}(H_e) 或 dH \geq 0, M \geq M_{an}(H_e) \\ 2, & dH < 0, M \geq M_{an}(H_e) \\ 3, & dH \geq 0, M < M_{an}(H_e)\end{cases}$ 如果定义控制$u = \dot{H}$，则模型可重写为： $\begin{pmatrix}\dot{H} \\ \dot{M}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ f_i(H, M)\end{pmatrix}u$，其中$i = \begin{cases}1, & u < 0, M < M_{an}(H_e) 或 u \geq 0, M \geq M_{an}(H_e) \\ 2, & u < 0, M \geq M_{an}(H_e) \\ 3, & u \geq 0, M < M_{an}(H_e)\end{cases}$ 需要注意的是： - 上述定义的控制$u$与施加到执行器的物理电流$I$不同。电流$I$与状态分量$H$通过常数$c_0$（线圈因子）相关：$H = c_0I$。因此，从控制$u$可得施加的电流为$I(t) = I(0) + \frac{1}{c_0}\int_{0}^{t}u(s)ds$。 - 切换取决于连续控制$u$的符号和状态$(H, M)$，因此该模型是一个具有受控切换和自主切换的混合系统。 可以更紧凑地表示该模型。令$\Omega_1 = \{(H, M) : M < M_{an}(H_e)\}$，$\Omega_2 = \{(H, M) : M \geq M_{an}(H_e)\}$，$x = (H, M)$，定义： $f_+(x) = \begin{cases}\begin{pmatrix}1 \\ f_1(x)\end{pmatrix}, & x \in \Omega_2 \\ \begin{pmatrix}1 \\ f_3(x)\end{pmatrix}, & x \in \Omega_1\end{cases}$ $f_-(x) = \begin{cases}\begin{pmatrix}1 \\ f_1(x)\end{pmatrix}, & x \in \Omega_1 \\ \begin{pmatrix}1 \\ f_2(x)\end{pmatrix}, & x \in \Omega_2\end{cases}$ 由于$f_i$（$1 \leq i \leq 3$）在$\{(H, M) : M = M_{an}(H_e)\}$上重合，$f_+$和$f_-$是连续的。定义两个连续控制集： $U_+ = \{u : u_c \geq u \geq 0\}$ $U_- = \{u : -u_c \leq u \leq 0\}$ 其中$u_c > 0$表示执行器的操作带宽约束（回顾$u = c_0\dot{I}$）。为了便于表述，通过引入离散控制集$D = \{1, 2\}$使切换对$u$的依赖关系更明确。