助力计算科学教育与数学建模能力提升

# 助力计算科学教育与数学建模能力提升 ## 1 模式识别在问题解决中的应用 在解决问题时，模式识别是专业能力的显著标志。就像电气工程中的电路图，它就是一种模式。一个人关于某个问题的一系列图式会形成一个代表其知识的图，这就像是一种特定程序的语言，为讨论特定问题提供了词汇。而且，模式都有其适用的上下文。 ### 1.1 教学实例 在一次课堂上，有一个为期一学期、包含七个里程碑的项目。从第二个里程碑开始，学生需要先自行测试代码。然而，高年级学生在思考如何测试这个项目时遇到了困难。教师通过在黑板上绘制并标注单元细胞，引导学生思考。教师提出问题：“你们想声称什么？”学生经过一段时间后回答：“我们希望您认可我们的里程碑是正确的。”接着教师问：“你们的证据是什么？”学生花费了更长时间才明确证据实际上是四类不同的处理方式。并且，在教师指出还需要展示拒绝某些输入的情况后，确定了有八种不同类型的测试输入。最后，经过讨论，大家一致认为学生提供的是直接证据，并且可以将规范映射到输入和输出上。 ### 1.2 结论 为了培养学生的最佳能力，学生必须尽快达到布鲁姆分类法中的“创造”水平。处于“创造”水平意味着要同时强调批判性思维和论证（建模）。建模始于心理建模，并且是一个归纳的过程。 ## 2 数学建模模块助力本科生应对复杂性 ### 2.1 背景 大多数高校对本科生的数学训练过于简单，无法让学生应对更复杂的应用问题。简单问题通常涉及的变量较少，计算步骤也很少。一旦遇到超出这种复杂程度的问题，学生不仅难以规划解决方案，而且无法为自己的答案提供合理的解释。 ### 2.2 模块介绍 该模块结合了数学建模（MM）过程和分区分析方法，以应对这些挑战。案例研究展示了如何将复杂问题分解为学生能够理解的小问题。每个案例研究中的模型按照复杂度递增的顺序排列，学生可以逐步从简单应用过渡到更复杂的应用。通过逐步放宽不切实际的假设并考虑额外因素，可以从先前的模型中获得新的模型。同时，引入了验证和确认（V&V）技术，以确保答案的有效性。设计了指导性问题，引导学生得出自己的答案，并促使他们将关键的数学方程与所考虑问题的相应现象联系起来。选择Stella作为主要的建模和仿真工具，它能将数学的严谨性与计算工具的直观性相结合，帮助学生获得对数学应用的深刻见解。 ### 2.3 目标与评估 模块的目标包括： 1. 教授学生基本的建模方法和过程。 2. 训练学生使用工具逐步对应用进行建模。 3. 引入验证和确认的概念。 4. 培养学生将答案与应用中的深刻观察联系起来的能力。 5. 展示数学作为科学语言的强大力量。 评估采用了包含五个调查问题的总结性评价，分别对应上述五个目标，另外还有两个关于模块交付和团队项目整体反馈的问题。 ### 2.4 数学建模过程 数学建模是一门跨学科的学科，它将系统工程原理应用于数学应用中，提供了将应用问题转化为数学问题的方法和过程。科学家和工程师通常对两种类型的变化进行建模：连续的定量变化（如速度变化）和离散的定性变化（如交通灯变化）。这里主要关注连续现象的微分方程模型。 建模过程是一个迭代的过程，包括两个反向循环： - **问题解决循环（PSL）**： 1. **PSL1：识别事实、假设和不变量**：确定相关因素（如已知或未知量及其单位）、不变量（如物理定律），明确概念模型所基于的假设，以及在模型保真度和求解容易度之间进行权衡。 2. **PSL2：将识别内容转化为数学表达式**：指定坐标或参考系，将已知和未知量表示为参数和变量，使用表格映射每个数学变量、参数到其指定的量、正方向和单位，将概念模型转化为数学模型。 3. **PSL3：符号或数值计算**：确定方程的类型（如线性或非线性），判断是否有解以及解是否唯一，考虑是否可以获得精确的解析解或只能获得数值解，选择合适的工具和编程语言来求解。 4. **PSL4：回答问题**：根据问题的要求，提供函数关系或特定的数值答案，可以通过解析函数、图形或计算工具的仿真来回答。 - **答案验证循环（AJL）**： 1. **AJL1：观察**：观察与答案相关的特殊点（如初始、平均、中位数或终端）的事实，了解长期趋势，判断答案是否能根据应用问题的领域知识解释现象。 2. **AJL2：验证**：检查解析解是否正确，或数值解是否在可控的误差范围内近似精确解，考虑是否有解析方法来检查答案，以及算法是否正确。 3. **AJL3：确认**：检查模型的假设是否基于问题的可靠领域知识，模型是否正确地表述了问题的本质，能否为假设提供合理的解释，是否有不切实际的假设可以放宽以提高模型的保真度，方程两边的单位是否匹配，能否直观理解一些定性答案，以及模型在特殊情况下是否能简化为已知的基本模型。 下面是这个建模过程的 mermaid 流程图： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px; classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px; classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px; ```