图论网络优化算法全解析

### 图论网络优化算法全解析 在图论和网络优化领域，有多种重要的问题和算法。本文将深入探讨最小割问题、最小生成树问题以及路径枚举问题，并详细介绍如何使用相关算法来解决这些问题。 #### 1. 最小割问题 最小割问题分为最小 s - t 割问题和普通最小割问题。选项意味着图是有向的，因为割将从节点 s 到节点 t 的链接进行了划分。解决最小 s - t 割问题的算法最终只返回一个割。在 proc optnetwork 中，MINCUT 语句使用 Stoer - Wagner 算法来计算最小割。 ##### 1.1 寻找最小割 考虑一个简单的无向加权图示例，该图有 8 个节点和 12 条带权重的边。以下是创建最小割问题输入数据集的代码： ```sas data mycas.links; input from to weight @@; datalines; 1 2 2 1 5 3 2 3 3 2 5 2 2 6 2 3 4 4 3 7 2 4 7 2 4 8 2 5 6 3 6 7 1 7 8 3 ; run; ``` 创建好输入数据集后，使用 proc optnetwork 调用最小割算法： ```sas proc optnetwork direction = undirected links = mycas.links ; linksvar from = from to = to weight = weight ; minCut outcutsets = mycas.cutsets outpartitions = mycas.partitions maxcuts = 10 ; run; ``` 虽然可以使用 OUTLINKS= 和 OUTNODES= 选项定义输出表，但这些选项对输出结果没有实际影响。最终结果通过 OUTCUSETS= 和 OUTPARTITIONS= 选项保存。在这个例子中，尽管指定了最多查找 10 个最小割（MAXCUTS = 10），但 proc optnetwork 只找到了 7 个割。 ##### 1.2 最小 s - t 割问题 对于最小 s - t 割问题，需要定义源节点和汇节点，并将图设置为有向图。假设使用与上述相同的网络，将节点 1 作为源节点，节点 8 作为汇节点。以下是相应的代码： ```sas proc optnetwork direction = directed links = mycas.links ; linksvar from = from to = to weight = weight ; minCut outcutsets = mycas.cutsets outpartitions = mycas.partitions source = 1 sink = 8 ; run; ``` 结果显示，存在一个最小 s - t 割，将 8 个节点分成两个各有 4 个节点的分区，割集由链接 2 - 3 和 6 - 7 组成。 以下是最小割问题的操作步骤总结： 1. 创建包含节点连接和边权重的链接数据集。 2. 使用 proc optnetwork 调用最小割算法，设置图的方向、链接数据集等参数。 3. 通过 OUTCUSETS= 和 OUTPARTITIONS= 选项保存结果。 #### 2. 最小生成树问题 最小生成树问题旨在找到连接整个网络的最少数量的链接，同时保持与原始网络相同的可达性。一个图可以有多个不同的生成树，而最小生成树是其中链接总权重最小的树。 在 proc optnetwork 中，MINSPANTREE 语句调用解决最小生成树问题的算法，该算法基于 Kruskal 算法。Kruskal 算法采用贪心策略，每次迭代选择权重最小的链接，并检查添加该链接是否会形成环，如果不会则添加到生成树中。 ##### 2.1 寻找最小生成树 考虑一个有 7 个节点和 11 条链接的网络。以下是创建输入数据集的代码： ```sas data mycas.links; input from $ to $ weight @@; datalines; A B 7 A D 5 B C 8 B D 9 B E 7 C E 5 D E 15 D F 6 E F 8 ```