多几何对象检测问题及应用

### 多几何对象检测问题及应用 在许多实际应用中，我们常常需要从数据集中识别和重建多个几何对象，如圆和椭圆。本文将详细介绍多几何对象检测问题，特别是多圆检测和多椭圆检测问题，并探讨相关的解决方法和应用场景。 #### 1. 几何对象索引（GO） 首先，我们定义了几何对象索引（GO），用于评估数据分区的合适性。对于数据集 $\rho = \{\rho_1, \ldots, \rho_{\kappa}\}$，其中 $\rho_j := \rho_j(\pi^{\star}_j)$ 是簇 $\pi^{\star}_j$ 的局部密度，$\kappa \geq 2$，方差 $Var(\rho)$ 的计算公式如下： \[ Var(\rho) = \frac{1}{\kappa - 1} \sum_{j = 1}^{\kappa} (\rho_j - \overline{\rho})^2 \] 其中，$\overline{\rho} = \frac{1}{\kappa} \sum_{j = 1}^{\kappa} \rho_j$。 几何对象索引（GO）的定义为： \[ GO(\kappa) := \begin{cases} \sqrt{Var(\rho_1, \ldots, \rho_{\kappa})}, & \text{for } \kappa \geq 2 \\ \rho_1, & \text{for } \kappa = 1 \end{cases} \] 当 $\kappa = 1$ 时，只有一个 $\gamma$-簇中心 $\gamma^{\star}_1$，GO 索引的值等于 $\rho_1 = \frac{|A|}{|\gamma^{\star}_1|}$。GO 索引值越小，对应的分区越合适。 #### 2. 多圆检测问题（MCD） 多圆检测问题是多几何对象检测问题中最简单的情况。给定一个数据集 $A = \{a_i = (x_i, y_i) : i = 1, \ldots, m\} \subset \mathbb{R}^2$，该数据集源自平面上的几个未知圆，我们需要识别或重建这些圆。 ##### 2.1 圆的表示 对于以点 $C = (p, q)$ 为圆心，半径为 $r$ 的圆，我们可以使用以下两种表示方法： - $K(C, r) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : (x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2\}$ - $K(C, r) = \{C + r(\cos \tau, \sin \tau) : \tau \in [0, 2\pi]\}$ ##### 2.2 应用场景 多圆检测问题在许多领域都有应用，如模式识别、计算机视觉、工业应用中的图像分析（如制造产品和组件的自动检测）、瞳孔和虹膜检测以及动物行为研究等。 ##### 2.3 解决方法 文献中解决多圆检测问题的方法有很多，常见的包括最小二乘法（LS-fitting）、霍夫变换（Hough transformation）、随机抽样一致性算法（RANSAC method）和各种启发式方法。我们将该问题视为基于中心的聚类问题，其中簇中心为圆。 ##### 2.4 单个圆作为数据集的代表 假设数据集 $A$ 源自单个圆，我们可以构建人工数据集。具体步骤如下： 1. 生成 $m > 2$ 个均匀分布在 $[0, 2\pi]$ 上的点 $\tau_i$，$i = 1, \ldots, m$。 2. 对于每个点 $T_i = C + r(\cos \tau_i, \sin \tau_i) \in K(C, r)$，添加一个来自二元正态分布 $N(0, \sigma^2I)$ 的随机误差，其中期望为 $0 \in \mathbb{R}^2$，协方差矩阵为 $\sigma^2I$，$I$ 为 $2 \times 2$ 的单位矩阵。 根据定义，数据集 $A$ 的局部密度为 $\rho(A) = \frac{m}{2r\pi}$。 以下是一个生成人工数据集的 Mathematica 代码示例： ```mathematica A = {}; cen = {2.5, 2.5}; r = 2; m = 100; sigma = .01; Do[ t = RandomReal[{0, 2 Pi}]; T = cen + r {Cos[t], Sin[t]}; A = Append[A, RandomReal[ MultinormalDistribution[T, sigma IdentityMatrix[2]], {1}][[1]] ]; , {ii, m}] ``` ##### 2.5 最佳代表圆 数据集 $A$ 的最佳代表圆 $K((p, q), r)$ 的参数 $p$、$q$、$r$ 是以下全局优化问题（GOP）的解： \[ \arg\min_{(p,q) \in \Omega, r \in [0,R]} \sum_{i = 1}^{m} D(a_i, K((p, q), r)) \] 其中，$R = \frac{1}{2} \max\{b - a, d - c\}$，$\Omega = [a, b] \times [c, d]$，$D$ 是一个距离函数，常见的定义有以下三种： - $D_1(a_i, K((p, q), r)) := |\lVert a_i - (p, q) \rVert - r|$ - $D_2(a_i, K((p, q), r)) := (\lVert a_i - (p, q) \rVert - r)^2$ - $D_A(a_i, K((p, q), r)) := (\lVert a_i - (p, q) \rVert^2 - r^2)^2$ 当使用 $D_1$ 距离时，称为 LAD 原则；使用 $D_2$ 距离时，称为 TLS 原则；使用 $D_A$ 距离时，称为代数准则。代数准则（DA 方法）在文献和应用中最为常用，因为其目标函数是可微的。 为了解决上述 GOP 问题，我们可以使用全局优化算法 DIRECT 或局部优化方法（如牛顿法、拟牛顿法、Nelder - Mead 法等），并确定圆中心 $\hat{C} = (\hat{p}, \hat{q})$ 和半径 $\hat{r}$ 的初始近似值。 不同距离函数下初始近似值的计算方法如下： | 距离函数 | 圆心 $\hat{C}$ |