量子信息传输中的双轨和多轨编码

### 双轨和多轨编码：量子信息传输的高效策略 在量子信息理论中，信息传输的效率和保真度是至关重要的研究方向。本文将深入探讨双轨和多轨编码在量子信息传输中的应用，介绍相关概念、策略以及如何实现完美状态传输。 #### 双轨编码的局限性与多轨编码的引入 在量子信息传输中，双轨编码曾被用于传输一个量子比特，使用两条链，传输速率\(R = 1/2\)。这引发了一个问题：\(1/2\)这个值是否有特殊意义？答案是否定的，因为通过多轨编码，可以使传输速率\(R\)任意接近\(1\)。 考虑一个系统，Alice和Bob操作\(M\)条链，每条链包含\(N\)个自旋。同一链中的自旋通过哈密顿量\(H\)相互作用，不同链的自旋不相互作用。Alice通过对她的量子比特应用幺正变换，将信息编码在链的第一个自旋上；Bob通过对链的最后一个自旋进行联合测量来恢复信息。 为了提高通信的整体保真度，Alice和Bob会选择在\(M\)个自旋中冗余编码少量（设为\(Q(M) \ll M\)）的逻辑量子比特，这实际上是牺牲了通信线路的效率\(R(M) \equiv Q(M)/M\)来提高保真度，类似于量子纠错理论中，将一个逻辑量子比特存储在多个物理量子比特中。 #### 多轨编码的策略与效率 我们的策略要求Alice准备\(M\)条链的叠加态，其中约\(M/2\)条链在第一个位置有单个激发，其余处于\(\vert0\rangle\)态。当\(M \gg 1\)时，传输的量子比特数约为\(\log_2 \binom{M}{M/2} \approx M\)，这种架构保证了最优效率\(\lim_{M \to \infty} R(M) = 1\)。 为了准确描述Alice用于编码信息的状态，我们引入一些符号。用\(m = 1, \cdots, M\)来区分\(M\)条不同的链，\(\vert n\rangle_m\)表示第\(m\)条链的第\(n\)个自旋有单个激发的状态。我们关注的是整个系统中\(K\)条链有单个激发，其余\(M - K\)条链处于\(\vert0\rangle\)态的配置。 通过引入\(K\)元素子集\(S_{\ell}\)，它由包含激发的链的标签组成，每个子集\(S_{\ell}\)对应于希尔伯特空间\(H(S_{\ell})\)的一个子空间，维度为\(N^K\)。子集的总数等于二项式系数\(\binom{M}{K}\)。 我们定义\(\vert n; \ell\rangle \equiv \bigotimes_{j = 1}^{K} \vert n_j\rangle_{m_{j}^{(\ell)}} \bigotimes_{m' \notin S_{\ell}} \vert 0\rangle_{m'}\)，这些态是相互正交的，即\(\langle\langle n; \ell \vert n'; \ell'\rangle\rangle = \delta_{\ell \ell'} \delta_{nn'}\)，并且它们在哈密顿量下的时间演化与\(\ell\)无关。 当所有\(K\)个激发都位于\(S_{\ell}\)链的开头时，\(n = 1 \equiv (1, \cdots, 1)\)，我们有\(\vert 1; \ell\rangle \equiv \bigotimes_{m \in S_{\ell}} \vert 1\rangle_m \bigotimes_{m' \notin S_{\ell}} \vert 0\rangle_{m'}\)；当所有激发位于链的末尾时，\(n = N \equiv (N, \cdots, N)\)，有\(\vert N; \ell\rangle \equiv \bigotimes_{m \in S_{\ell}} \vert N\rangle_m \bigotimes_{m' \notin S_{\ell}} \vert 0\rangle_{m'}\)。 如果系统的所有\(M\)条链最初都处于\(\vert0\rangle\)态，Alice可以通过对她的自旋进行局部操作来制备\(\vert 1; \ell\rangle\)态。由于这些态张成一个\(\binom{M}{K}\)维的子空间，Alice可以通过制备叠加态\(\vert\Psi\rangle = \sum_{\ell} A_{\ell} \vert 1; \ell\rangle\)，编码\(Q(M, K) = \log_2 \binom{M}{K}\)个逻辑量子比特的信息。这种编码的效率为\(R(M, K) = \frac{\log_2 \binom{M}{K}}{M}\)，当对\(K\)进行最大化时，得到： \[ R(M) = \begin{cases} \frac{1}{M} \log_2 \binom{M}{M/2}, & M \text{ 为偶数} \\ \frac{1}{M} \log_2 \binom{M}{(M - 1)/2}, & M \text{ 为奇数} \end{cases} \] 使用斯特林近似可以证明，在\(M\)很大的极限下，这种编码是渐近高效的。例如，当\(M = 5\)时，编码效率已经比双轨编码更高。 #### 多轨编码的完美状态传输 由于\(M\)条链相互独立且具有相同的自由哈密顿量\(H\)，整个系统的幺正演化由\(U(t) \equiv \bigotimes_m u_m(t)\)描述，其中\(u_m(t)\)是作用在第\(m\)条链上的算符。输入态\(\vert 1; \ell\rangle\)的时间演化如下： \[ U(t) \vert 1; \ell\rangle = \sum_{n} F[n, 1; t] \vert n; \ell\rangle \] 其中\(F[n, n'; t] \equiv f_{n_1, n_1'}(t) \cdots f_{n_K, n_K'}(t)\)，与\(\ell\)无关。我们可以将求和拆分为两部分： \[ U(t) \vert 1; \ell\rangle = \phi_1(t) \vert N; \ell\rangle + \sqrt{1 - \vert\phi_1(t)\vert^2} \vert\varphi(t); \ell\rangle \] 其中\(\phi_1(t) \equiv \langle\langle N; \ell \vert U(t) \vert 1; \ell\rangle\rangle = F[N, 1; t]\)是所有\(K\)个激发到达链末尾的概率振幅，\(\vert\varphi(t); \ell\rangle \equiv \sum_{n \neq N} \frac{F[n, 1; t]}{\sqrt{1 - \vert\phi_1(t)\vert^2}} \vert n; \ell\rangle\)是激发到达通信线路末尾的数量严格小于\(K\)的项的叠加。 输入态\(\vert\Psi\rangle\)的时间演化由线性性可得： \[ \vert\Psi(t)\rangle = \phi_1(t) \vert\Phi\rangle + \sqrt{1 - \vert\phi_1(t)\vert^2} \vert\Phi(t)\rangle \] 其中\(\vert\Phi(t)\rangle \equiv \sum_{\ell} A_{\ell} \vert\varphi(t); \ell\rangle\)，\(\vert\Phi\rangle \equiv \sum_{\ell} A_{\ell} \vert N; \ell\rangle\)。\(\vert\Phi\rangle\)是实现链末端完美状态传输所需的配置。 为了从\(\vert\Psi(t)\rangle\)中恢复消息\(\vert\Phi\rangle\)，Bob只需要对他控制的\(M\)个自旋进行集体测量，以确定这些位置是否有\(K\)个或更少的激发。这可以通过引入可观测量\(\sigma \equiv I - \sum_{\ell} \vert N; \ell\rangle \langle\langle N; \ell \vert\)来描述。 对\(\vert\Psi(t