逻辑编程与动态更新：原理、问题与解决方案

### 逻辑编程与动态更新：原理、问题与解决方案 在逻辑编程领域，为了有效处理知识更新问题，我们引入了广义逻辑程序（Generalized Logic Programs）和动态逻辑编程（Dynamic Logic Programming）的概念。下面将详细介绍这些概念及其相关的语义和应用。 #### 广义逻辑程序 广义逻辑程序允许在规则体和规则头中使用默认否定（default negation），这使得它能够更灵活地表示负信息。 ##### 基本定义 - **命题语言**：考虑一个任意的命题变量集合 $\mathcal{K}$，其名称不以 “not” 开头。由 $\mathcal{K}$ 生成的命题语言 $\mathcal{L}_{\mathcal{K}}$ 包含两类命题变量：原子 $A$ 和默认文字 “not $A$”。这里，$A$ 是原子，“not $A$” 是默认文字，二者统称为文字。 - **解释**：一个（二值）解释 $M$ 是 $\mathcal{L}_{\mathcal{K}}$ 中文字的集合，满足对于任意 $A \in \mathcal{K}$，文字 $A$ 或 “not $A$” 恰好有一个属于 $M$。我们还定义了 $M^+ = \{A \in \mathcal{K} : A \in M\}$ 和 $M^- = \{\text{not } A : A \in \mathcal{K}, \text{not } A \in M\} = \{\text{not } A : A \in \mathcal{K}, A \notin M\}$。 - **广义逻辑程序**：广义逻辑程序 $P$ 是一组有限或无限的命题 Horn 子句（规则），形式为 $L \leftarrow L_1, \ldots, L_n$，其中 $L$ 和 $L_i$ 是 $\mathcal{L}_{\mathcal{K}}$ 中的文字，且 $n \geq 0$。如果 $P$ 中所有子句头的文字都是原子，则称 $P$ 为正常逻辑程序。 ##### 语义 广义逻辑程序的语义由稳定模型（Stable Models）来确定。 - **稳定模型定义**：一个（二值）解释 $M$ 是广义逻辑程序 $P$ 的稳定模型，当且仅当 $M$ 是 Horn 理论 $P \cup M^-$ 的最小模型，即 $M = \text{least}(P \cup M^-)$，或者等价地，$M^+ = \{A : A \text{ 是原子且 } P \cup M^- \vdash A\}$。我们用 $\text{SM}(P)$ 表示 $P$ 的所有稳定模型的集合。 下面通过一个例子来说明稳定模型的计算： ```plaintext 例 3：考虑程序 P 由以下规则组成： a ← not b not d ← not c, a d ← not e e ← not d g ← a 设 $\mathcal{K} = \{a, b, c, d, e, g\}$。这个程序有且仅有一个稳定模型： $M = \{a, e, g, \text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\}$ 为了验证 $M$ 是稳定的，我们观察到： $M = \text{least}(P \cup \{\text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\})$ 其中，$\text{least}(P \cup \{\text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\})$ 可以通过 $T_P$ 算子计算得到： $T_{P \cup \{\text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\}}^0 = \varnothing$ $T_{P \cup \{\text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\}}^1 = \{a\}$ $T_{P \cup \{\text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\}}^2 = \{a, g\}$ $T_{P \cup \{\text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\}}^3 = \{a, e, g\}$ $T_{P \cup \{\text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\}}^4 = T_{P \cup \{\text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\}}^3 = \text{least}(P \cup \{\text{not } b, \text{not } c, \text{not } d\})$ ``` - **一致性**：一个广义逻辑程序是一致的，当且仅当它至少有一个稳定模型。 - **语义蕴含**：设 $P$ 是广义逻辑程序，$L_1, \ldots, L_n$ 是文字的合取。我们说 $P \models_{SM} L_1, \ldots, L_n$ 当且仅当 $L_1 \in \bigcap_{M \in \text{SM}(P)} M \land \ldots \land L_n \in \bigcap_{M \in \text{SM}(P)} M$。 - **语义等价**：两个广义逻辑程序在给定语言 $\mathcal{L}$ 中是语义等价的，如果它们具有相同的稳定模型集合。 - **Gelfond - Lifschitz 变换**：给定广义逻辑程序 $P$ 和解释 $M$，$P$ 关于 $M$ 的 Gelfond - Lifschitz 变换 $\frac{P}{M}$ 是通过以下步骤从 $P$ 得到的广义逻辑程序： - 从 $P$ 中移除所有规则体中包含默认文字 “not $A$” 且 $A \in M$ 的子句。 - 从剩余子句的规则体中移除默认文字 “not $A$”。 通过这个变换，我们可以得到以下命题：一个解释 $M$ 是广义逻辑程序 $P$ 的稳定模型，当且仅当 $M^+ = \{A : A \in \mathcal{K} \text{ 且 } \frac{P}{M} \vdash A\}$ 且 $\frac{P}{M} \vdash \{\text{not } A : A \in \mathcal{K}, \text{且 } \frac{P}{M} \vdash \text{not } A\}$。对于正常程序，第二个条件总是空满足的。 ##### 添加强