布尔层次结构与二进制指数退避协议研究

### 布尔层次结构与二进制指数退避协议研究 #### 布尔层次结构相关内容 在布尔层次结构的研究中，有诸多重要概念和结论。 - **嵌入引理与相关结论**：对于格结构\((G, f)\)和\((G', f')\)，嵌入引理表明\((G, f) \leq (G', f')\)意味着\(K(G, f) \subseteq K(G', f')\)。但一般情况下，若无对\(K\)的额外假设，不能直接将该蕴含关系反转。例如对于类\(IS = \{ \{1, 2, \cdots, n\} | n \in \mathbb{N} 或 n = \infty \}\)，它在交和并运算下封闭，且\(BH_2(IS)\)是严格的，但\(BH_3(IS)\)并非如此。存在\(3\) - 格\((G, f)\)和\((G', f')\)，使得\(IS(G, f) = IS(G', f')\)，但\((G, f) \nleq (G', f')\)。 - **嵌入猜想**：假设多项式时间层次结构不坍塌。对于\(k\) - 格\((G, f)\)和\((G', f')\)，当且仅当\((G, f) \leq (G', f')\)时，\(NP(G, f) \subseteq NP(G', f')\)。为验证该猜想，有如下定理和推论： - **定理 3**：假设多项式时间层次结构不坍塌。若\(NP(G, f) \subseteq NP(G', f')\)，则\((G, f)\)的每个无重复\(k\) - 子链都会作为\((G', f')\)的\(k\) - 子链出现。这意味着除非多项式时间层次结构坍塌，图 2 和图 3 中的\(3\) - 格在\(NP\)上定义的划分类是不可比较的。 - **推论 1**：假设多项式时间层次结构不坍塌。对于\(k\) - 链\((G, f)\)和\((G', f')\)，当且仅当\((G, f) \leq (G', f')\)时，\(NP(G, f) \subseteq NP(G', f')\)。 - **命题 4**：每个\(2\) - 格都等价于其最长的交替标记为\(1\)和\(2\)的链。 - **推论 2**：假设多项式时间层次结构不坍塌。对于\(2\) - 格\((G, f)\)和\((G', f')\)，当且仅当\((G, f) \leq (G', f')\)时，\(NP(G, f) \subseteq NP(G', f')\)。 - **定理 4**：对于图 4 中的\(3\) - 格\((G, f)\)和\((G', f')\)，当且仅当\(NP = coNP\)时，\(NP(G, f) \subseteq NP(G', f')\)。 下面用 mermaid 流程图展示格之间关系的判断流程： ```mermaid graph TD; A[判断\((G, f)\)和\((G', f')\)类型] --> B{k - 链?}; B -- 是 --> C{判断\((G, f) \leq (G', f')\)}; C -- 是 --> D[NP(G, f) \subseteq NP(G', f')]; C -- 否 --> E[NP(G, f) \nsubseteq NP(G', f')]; B -- 否 --> F{2 - 格?}; F -- 是 --> G{判断\((G, f) ```