常见编码技术解析

# 通信编码技术：LDPC、RS与Polar码解析 ## 1. QC LDPC码的构建与解码 ### 1.1 QC LDPC码的构建 QC LDPC码的基础图元素取值范围从 -1 到 (Z - 1)。按照惯例，-1 表示全为 0 的矩阵，而 0 到 (Z - 1) 表示单位矩阵 I 可能的循环移位版本。下面通过一个例子来展示 QC LDPC 码的构建过程。 假设单位矩阵 I 为： \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 则基础图的元素如下： \[ -1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ 0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ 1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ 2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] \[ 3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 若基础图 U 为： \[ U = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] 则对应的校验矩阵 H 为： \[ H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 需要注意的是，QC LDPC 码高性能的关键在于基础图的构建。虽然单位矩阵的循环置换数量为 Z，但在实际应用中，为了简化实现，通常会限制使用的置换数量。 ### 1.2 LDPC码的解码 LDPC 码与传统分组码的一个显著区别在于解码方式。传统码通常码长较短，采用最大似然（ML）解码；而 LDPC 码码长较长，采用迭代解码。 LDPC 码使用消息传递算法进行解码，其工作原理可以描述为消息在 Tanner 图的边上传送。Tanner 图上的每个节点独立工作，仅能获取与其相连边所传递的信息。消息传递算法使得消息在比特节点和校验节点之间反复迭代传递。为了实现最优解码，传递的消息是码字比特信息为 1 的概率估计，每个估计以对数似然比（LLR）的形式表示。对于码字比特 \(b_i\)，LLR\((b_i) = \ln prob.(b_i = 0) - \ln prob.(b_i = 1)\)。正的 LLR 表示更确信关联比特值为 0，负的 LLR 表示更确信比特值为 1，LLR 的大小表示确信程度。这种解码方式称为置信传播解码，具体步骤如下： 1. 每个码字从信道输出时不是硬输出（1 或 0），而是软输出。这些软输出被转换为 LLR 形式的初始估计。 2. 每个比特节点将其初始估计发送给与其相连的校验节点。 3. 每个校验节点对与其相关的奇偶校验方程中的比特进行新的估计，并通过相连的边将这些新估计发送回相关的比特节点。 4. 比特节点的新估计被发送给校验节点，重复步骤 3 和 4，直到找到允许的码字或达到允许的最大迭代次数。 在估计收敛并纠正所有错误之前，可能需要进行多次解码迭代。码长越长，纠错能力的置信度越高，因此长码长是理想的。然而，长码长会增加计算复杂度，因为这会增大奇偶校验矩阵的大小，从而增加估计每个比特所需的解码计算量。因此，长码长加上多次解码迭代会导致延迟增加。 ## 2. Reed - Solomon（RS）码 ### 2.1 RS码的基本原理 Reed - Solomon 码是 1960 年由 I. Reed 和 G. Solomon 开发的，广泛应用于数字无线系统中。这些码是“非二进制”循环分组码。在非二进制分组码中，输入比特流被转换为 m 比特长的符号，这些符号被分隔成每个长度为 k 个符号的消息块。编码器然后添加 r 个校验符号，每个校验符号也为 m 比特长，从而创建一个长度为 n 个符号的码字。RS (n, k) 码存在于所有满足 \(0 < k < 2^m + 2\) 的 n 和 k 值中。 最常用的 RS (n, k) 码为 \(n, k = (2^m - 1, 2^m - 1 - 2t)\)，其中 t 是每个码字可纠正的符号错误数，因此奇偶校验符号数 \(n - k\) 等于 2t。 对于非二进制码，两个码字之间的距离定义为符号不同的位置数。对于 RS 码，码的最小距离 \(d_{min}\) 为 \(d_{min} = n - k + 1\)。将 \(d_{min}\) 代入相关公式可得 \(t = \lfloor\frac{n - k}{2}\rfloor = \lfloor\frac{r}{2}\rfloor\)，其中 \(\lfloor i\rfloor\) 表示不超过 i 的最大整数。 ### 2.2 RS码的缩短 RS 码可以通过将编码器处指定的一些信息符号置为零（例如前 i 个符号），不传输这些符号，然