斯科伦函数与超幂运算的良序性及相关可归约性结构研究

### 斯科伦函数与超幂运算的良序性及相关可归约性结构研究 #### 斯科伦函数与超幂运算的良序性 在研究斯科伦函数与超幂运算相关问题时，我们首先关注其良序性的证明。在归纳步骤（\(\tau_{n + 1} = m + 1\)）中，由于归纳起点包含了所有重要思想，我们仅给出大致思路。首先证明因子的可比性，主要涉及 \(x^f\) 与 \(x^{\Pi g_j}\) 的情况，这里我们依赖归纳假设来获得 FPP（某种性质）。后续的一些性质证明与归纳起点类似。 接下来证明定理 1，即 \(S^*,_0 = S\) 是良序的且具有唯一的范式（NF），并且空满足 FPP。引理 3 为 \(S^*,_{n + 1}\) 提供了 FPP。若能为 \(f \in S^*,_{n + 1}\) 生成唯一的 \(\Sigma\Pi - NF\)，根据引理 1 和对 \(n\) 的归纳，由于良序的递增并集本身也是良序的，我们就能完成证明。具体做法是，对于 \(\Sigma\Pi f_{ij} = f \in S^*,_{n + 1}\)，因为所有乘积都有唯一的 NF，将每个 PNF - 乘积 \(\Pi f_{ij}\) 重写为其各自的 NF，必要时将 \(P \cdot s + P \cdot t\) 重写为 \(P \cdot (s + t)\)，最后按降序重新排列求和项，即可得到所需的 NF。 值得注意的是，上述证明是完全构造性的，并且可以从引理 1 的证明中轻松提取出将函数重写为其范式以进行比较的算法，这表明 \((S^*, \preceq)\) 是可计算的，这与之前关于 \(S^*\) 是良序的证明形成了鲜明对比。 在研究良序的序型 \(O(S^*, \preceq)\) 时，范式具有明显的优势。我们假设读者熟悉序数及其算术。由定理 A 和 2 可知 \(O(x^x) = \epsilon_0\)，并且对于所有 \(f \in S^*\)，有 \(O(f + 1) = O(f) + 1\)，若 \(O(f) = \alpha + 1\)，则存在 \(f' \in S^*\) 使得 \(f = f' + 1\)。由此可知，\(\Sigma\Pi f_{ij}\) 对应一个极限，除非 \(f_{nnn} \equiv c \in N\)。 当 \(f \preceq g\) 时，我们用 \([f, g)\) 表示区间 \(\{h \in S^* | f \preceq h \prec g\}\)，并记 \(O([f, g))\) 为该区间关于 \(\preceq\) 的序型。特别地，\(O(f) = O([0, f))\)，且 \(f \preceq g\) 意味着 \([0, g) = [0, f) \cup [f, g)\)，即 \(O(g) = O([0, f)) + O([f, g))\)。 下面是一些重要的引理和定理： - **引理 4**：设 \(f \equiv \Pi_{i = 1}^m f_i\)，则 \(f \preceq h \preceq f \cdot 2 \Rightarrow \exists f' \preceq f (h = f + f')\)。但此引理不能推广到 \(f\) 为一般函数的情况。 - **引理 5**：设 \(g \preceq f \equiv \Pi f_i\)，则 (1) \(O(f + g) = O(f) + O(g)\)；(2) \(O(\Sigma\Pi f_{ij}) = \Sigma O(\Pi f_{ij})\)；(3) \(O(f \cdot n) = O(f) \cdot n\)。证明过程通过对 \(O(g)\) 进行归纳，归纳起点很简单，对于不同情况分别进行讨论。 - **引理 6**：设 \(f \equiv \Pi_{k = 1}^m f_k\)，则 \(g \preceq f_m \Rightarrow O(f \cdot g) = O(f) \cdot O(g)\)。证明通过对 \(O(g)\) 进行归纳，对于不同情况分别利用归纳假设和序数算术的性质进行推导。 - **定理 4**：\(O(\Sigma\Pi f_{ij}) = \Sigma\Pi O(f_{ij})\)。 - **引理 7**：设 \(g = \Pi_{k = 1}^{m + 1} g_k\)，\(m \geq 1\)，则 \(\{x^{(\Pi_{i = 1}^m g_i) \cdot f}\}_{f \prec g_{m + 1}}\) 在 \(x^g\) 中是共尾的。证明过程需要对不同情况进行细致分析，通过比较函数的性质和利用相关不等式来完成。 - **定理 5**：设 \(g \equiv \Pi_{k = 1}^m g_k\)，且 \(h \preceq g_m\)，则 \(O(x^{g \cdot h}) = O(x^g)^{O(h)}\)。证明通过对 \(O(h)\) 进行归纳，对于不同情况分别利用定理 4 和序数算术的性质进行推导。 #### 序型 \(O(S^*, \preceq)\) 的研究 我们引入了一些关于序数的概念，如 epsilon 数 \(\epsilon\) 满足 \(\omega^{\epsilon} = \epsilon\)，可以将其特征化为大于 \(\omega\) 且在指数运算下封闭的序数。朴素的序数超幂运算 \(\alpha^{(n)}\) 是良定义的，当 \(\alpha \geq \omega\) 时，\(\alpha^{(\omega)}\) 是一个 epsilon 数，且 \((\epsilon_{\alpha})^{(\omega)} = \epsilon_{\alpha + 1}\)。我们用 \(\tau_0\) 表示方程 \(\epsilon_{\alpha} = \alpha\) 的最小解。 下面是一些重要的引理和定理： - **引理 8**：\(O(x^{f + x}) \geq O(x^f)^{(\omega)}\)。证明过程通过设定 \(O(x^f) = \gamma\)，利用相关定理和不等式进行推导，通过归纳证明 \(O(x^{f + 2n}) \geq \gamma^{(n + 1)}\)，最终得出结论。 - **引理 9**：设 \(x \preceq h \in S^*\)，则 \(O(x^{h \cdot x}) \geq \epsilon_{O(h)}\)。证明通过对 \(O(h)\) 进行归纳，对于不同情况分别利用引理 8 和归纳假设进行推导。 - **定理 6**：\(\tau_0 \leq O(S^*, \preceq)\)。证明通过定义 \(\epsilon_{0,0} = \epsilon_0\)，\(\epsilon_{n + 1,0} = \epsilon_{\epsilon_{n,0}}\)，对于函数 \(\psi_n\) 有 \(\psi_{n + 2} = x^{\psi_{n + 1}} \succ x^{\psi_n \cdot x}\)，利用引理 9 和归纳法得出 \(O(\psi_{2n + 2}) \geq \epsilon_{O(\psi_{2n})} \geq \epsilon_{\epsilon_{n,0}} = \epsilon_{n + 1,0}\)，由于 \(\tau_0 = \sup_{n < \omega} \epsilon_{n,0}\)，从而完成证明。 - **推论 1**：\(O(S^*, \preceq) \leq O(S^*, \preceq)\)。 此外，如果 \(\forall f \in S^* \exists n < \omega [O(x^{f + 1}) \leq O(x^f)^{(n)}]\) 成立，则 \(O(S^* \preceq) = \tau_0\)，我们希望在不久的将来解决这个问题。同时，我们的研究不仅仅局限于超幂运算，还可以考虑更高阶的运算，如迭代超幂运算（pentration）、迭代迭代超幂运算（hexation）等，这些运算在原始递归函数中形成了一个共尾的层次结构。我们计划将目前的工作扩展到 \(A^- = \bigcup_{n \in N} A^-_n\)，并在未来的论文中研究相关问题。 #### 可归约性结构研究 在可计算性理论的发展中，出现了一些新的工具，如 ibT 和 cl 可归约性。cl 可归约性最初由 Downey、Hirschfeldt 和 LaForte 提出，用于研究和量化相对随机性，但后来发现 1 - 随机集不是 cl - 最大的。不过，cl 可归约性本身具有很多有趣的性质，值得深入研究。ibT 可归约性由 Soare 引入，它与 cl 可归约性密切相关，实际上，ibT 归约就是常数 \(c = 0\) 的 cl 归约。 下面是它们的定义： - **定义 1**：我们称 \(A\) 可计算利普希茨归约到 \(B\)，记为 \(A \leq_{cl} B\)，如果存在一个图灵泛函 \(\Gamma\) 和一个常数 \(c \in \omega\)，使得对于所有 \(n\)，有 \(use_{\Gamma}(n) \leq n + c\)。 - **定义 2**：设 \(A, B \subseteq \omega\) 是两个自然数集，我们称 \(A\) 恒等有界图灵归约到 \(B\)，记为 \(A \leq_{ibT} B\)，如果存在一个图灵泛函 \(\Gamma\) 及其使用函数 \(use_{\Gamma}\)，使得 \(A = \Gamma^B\)，并且对于所有 \(n\)，有 \(use_{\Gamma}(n) \leq n\)。 \(\leq_{ibT}\) 和 \(\leq_{cl}\) 分别表示自然数子集 \(2^{\omega}\) 上的预序关系，它们在等价类上诱导出了丰富的度结构。在研究它们的性质时，我们可以借鉴图灵度的研究成果。例如，经典的 Spector 定理表明存在最小的（非计算的）图灵度，但对于 ibT 或 cl 度，答案是否定的。 下面是一个反例： - **命题 1**：如果 \(A\) 是非计算集，令 \(A + 1 = \{x + 1 : x \in A\}\) 和 \(2A = \{2x : x \in A\}\)，则 \(\varnothing <_{ibT} A + 1 <_{ibT} A\) 且 \(\varnothing <_{cl} 2A <_{cl} A\)。 我们还可以寻找最大或完全度。图灵度没有最大度，但当我们将序关系限制在包含特定类集合的度上时，可能会存在最大度。例如，Shoenfield 极限引理表明停机集的度 \(0'\) 在 \(\Delta_0^2\) 集中是图灵最大且完全的。沿着这些思路进行限制会产生许多关于度结构的自然问题。 下面是一些相关的结果： - **命题 2**：不存在 ibT - 最大集。证明过程通过构造一个集合 \(W = A \dot{-} 1 = \{a \dot{-} 1 : a \in A\}\)，证明 \(A <_{ibT} W\)。首先构造一个可计算泛函 \(\Gamma\) 使得 \(A = \Gamma^W\) 且该归约是恒等有界的，然后假设 \(W \leq_{ibT} A\) 会导致 \(A\) 是可计算的，从而产生矛盾。 - **推论 1**：当限制在 c.e. 集或 \(\Delta_0^2\) 集类时，不存在 ibT - 最大集。证明基于如果 \((A_s)_{s \in \omega}\) 是 \(A\) 的可计算逼近，则 \((A_s \dot{-} 1)_{s \in \omega}\) 是 \(A \dot{-} 1\) 的可计算逼近。 接下来我们研究 cl - 最大性。由于 cl 归约中机器可以跳过有限个条目，我们需要丢弃无限量的信息。在某些情况下，如果一个集合 \(A\) 不是双免疫的（即 \(A\) 或 \(\overline{A}\) 包含一个无限可计算子集），则 \(A\) 不是 cl - 最大的。 下面是相关的引理和推论： - **引理 1**：如果集合 \(A\) 不是双免疫的，则 \(A\) 不是 cl - 最大的。证明过程通过定义一个集合 \(W(x) = A(x + |B \cap [0, x]|)\)（其中 \(B \subseteq A\) 是可计算子集），证明 \(A \leq_{cl} W\)，然后假设 \(W \leq_{cl} A\) 会导致 \(A\) 是可计算的，从而产生矛盾。 - **推论 2**：不存在 cl - 最大的 c.e. 集。证明过程通过如果 \(A\) 是可计算的则结论成立，否则可以有效地找到一个可计算子集 \(B \subseteq A\)，根据引理 1 构造一个集合 \(W\) 使得 \(A <_{cl} W\)，并且可以构造 \(W\) 的 c.e. 逼近。 - **推论 3**：对于任何 \(n \geq 1\)，不存在 cl - 最大的 \(n\) - c.e. 集。 然而，存在双免疫集，即使在相对温和的 \(\Delta_0^2\) 集类中也是如此。为了解决这个问题，我们构造两个集合 \(U\) 和 \(V\)，使得如果 \(A \not<_{cl} U\) 则 \(A <_{cl} V\)。 下面是相关的命题和推论： - **命题 3**：不存在 cl - 最大集。证明过程通过构造集合 \(U\) 和 \(V\)。对于 \(a = 0, 1, 2, 3, \cdots\)，令 \(n_a = \frac{a(a + 1)}{2} - 1\)，构造 \(U(x) = \begin{cases} A(n_{a + 1}) & \text{if } x = n_a \text{ for some } a \\ A(x) & \text{otherwise} \end{cases}\)，则 \(A \leq_{cl} U\)。如果 \(U \not\leq_{cl} A\) 则结论成立，否则构造 \(V(x) = A(x + |\{n_a : a \in \omega\} \cap [0, x]|)\)，证明 \(A \leq_{cl} V\) 且 \(V \not\leq_{cl} A\)。 - **推论 4**：在 \(\Delta_0^2\) 集或 \(\omega\) - c.e. 集中不存在 cl - 最大元素。 - **推论 5**：在任何 \(\Sigma_0^n\)、\(\Pi_0^n\) 或 \(\Delta_0^{n + 1}\) 集中不存在 cl - 最大集，对于 \(n \geq 1\)。 cl 可归约性在比较随机性方面有一定的局限性，每个 1 - 随机集都严格 cl - 低于另一个集。但 cl 可归约性保留随机性，如果 \(A\) 是 1 - 随机的且 \(A \leq_{cl} B\)，则 \(B\) 是 1 - 随机的。 下面是相关的定理和推论： - **定理 1（van Lambalgen）**：给定无限集 \(C\) 和 \(D\)，以及一个无限、余有限、可计算集 \(X = \{x_1 < x_2 < \cdots\}\) 和 \(\overline{X} = \{y_1 < y_2 < \cdots\}\)，令 \(C \oplus_X D = \{x_n : n \in C\} \cup \{y_n : n \in D\}\)，则 \(C \oplus_X D\) 是 \(n\) - 随机的当且仅当 \(C\) 和 \(D\) 是相对 \(n\) - 随机的。 - **推论 6**：每个 \(n\) - 随机集 \(A\) 都严格 cl - 低于另一个 \(n\) - 随机集 \(B\)，并且可以均匀地找到 \(B\)。证明过程通过构造 \(U\) 和 \(V\) 从 \(A\) 出发，利用定理 1 证明 \(U\) 和 \(V\) 是 \(n\) - 随机的，并且证明 \(A <_{cl} U\)。 综上所述，我们对斯科伦函数与超幂运算的良序性以及 ibT 和 cl 可归约性的度结构进行了深入研究，得到了许多有趣的结果，并提出了一些有待解决的问题和未来的研究方向。 下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示命题 2 的证明思路： ```mermaid graph TD; A[给定集合 A] -->|判断 A 是否可计算| B{是/否}; B -- 是 --> C[A 不是 ibT - 最大集]; B -- 否 --> D[构造集合 W = A ˙− 1]; D --> E[证明 A ≤ibT W]; E --> F[假设 W ≤ibT A]; F --> G[推出 A 是可计算的]; G --> H[产生矛盾，A <ibT W]; H --> C; ``` 下面是一个表格，总结一些重要的定义和命题： | 名称 | 定义/命题内容 | | ---- | ---- | | cl 可归约性 | \(A \leq_{cl} B\) 当且仅当存在图灵泛函 \(\Gamma\) 和常数 \(c \in \omega\) 使得对于所有 \(n\)，\(use_{\Gamma}(n) \leq n + c\) | | ibT 可归约性 | \(A \leq_{ibT} B\) 当且仅当存在图灵泛函 \(\Gamma\) 使得 \(A = \Gamma^B\) 且对于所有 \(n\)，\(use_{\Gamma}(n) \leq n\) | | 命题 1 | 如果 \(A\) 是非计算集，\(\varnothing <_{ibT} A + 1 <_{ibT} A\) 且 \(\varnothing <_{cl} 2A <_{cl} A\) | | 命题 2 | 不存在 ibT - 最大集 | | 命题 3 | 不存在 cl - 最大集 | | 定理 1（van Lambalgen） | \(C \oplus_X D\) 是 \(n\) - 随机的当且仅当 \(C\) 和 \(D\) 是相对 \(n\) - 随机的 | ### 斯科伦函数与超幂运算的良序性及相关可归约性结构研究 #### 线性序嵌入与弱化连续性的探索 在前面的研究基础上，我们进一步探讨在不同可归约性下的结构问题。我们可以改变研究的焦点，去考察在一种可归约性下的结构如何嵌入到另一种可归约性的单个度中。 例如，wtt 可归约性比图灵可归约性更强，所以每个 wtt 度都完全包含在一个图灵度内；同时，也存在非平凡的连续图灵度，在这些度中 wtt 和图灵度是重合的。然而，在 cl 和 ibT 度之间，或者 wtt 和 cl 度之间，并没有完全类似的连续性。命题 1 中的构造就说明了这一点，不过这些构造只能产生线性序。 接下来，我们将研究在 ibT 和 cl 可归约性下能够嵌入的线性序类型。 - **线性序嵌入的可能性**：虽然命题 1 中的构造给出了一些简单的线性序关系，但对于更复杂的线性序能否嵌入到 ibT 和 cl 度结构中，还需要进一步研究。我们可以考虑不同的集合构造方式，尝试找到能够实现特定线性序嵌入的条件。例如，是否可以通过对集合元素的特定排列或者对集合进行某种运算来实现更复杂的线性序嵌入。 - **线性序嵌入的限制**：在探索线性序嵌入的过程中，我们也会发现一些限制。比如，某些线性序可能由于可归约性的性质而无法嵌入。这可能与可归约性所要求的计算资源（如使用函数的限制）有关。例如，在 ibT 可归约性中，使用函数必须满足 \(use_{\Gamma}(n) \leq n\)，这就对集合之间的归约方式产生了限制，从而影响了线性序嵌入的可能性。 下面是一个 mermaid 流程图，展示研究线性序嵌入的大致思路： ```mermaid graph TD; A[开始研究线性序嵌入] --> B[考虑不同集合构造方式]; B --> C[尝试实现特定线性序嵌入]; C --> D{是否成功嵌入}; D -- 是 --> E[分析嵌入条件和性质]; D -- 否 --> F[寻找无法嵌入的原因]; F --> G[分析可归约性的限制因素]; G --> B; E --> H[总结线性序嵌入的结果]; ``` 同时，我们还尝试去挽救某种弱化的连续性概念。我们会寻找一个度，在这个度中所有集合关于另一种可归约性是全序的。 - **弱化连续性的定义**：我们所说的弱化连续性，是指在特定的度中，集合之间关于某种可归约性呈现出全序的关系。这意味着在这个度内，任意两个集合都可以通过该可归约性进行比较。 - **寻找弱化连续度的方法**：为了寻找这样的弱化连续度，我们可以从已知的集合类和可归约性性质出发。例如，我们可以考虑某些特殊的集合类，如 c.e. 集、\(\Delta_0^2\) 集等，研究在这些集合类中是否存在满足弱化连续性的度。我们还可以利用前面证明中使用的集合构造方法，尝试构造出可能满足弱化连续性的度。 下面是一个表格，总结线性序嵌入和弱化连续性研究的相关内容： | 研究内容 | 具体描述 | | ---- | ---- | | 线性序嵌入 | 研究在 ibT 和 cl 可归约性下能够嵌入的线性序类型，包括可能性和限制 | | 弱化连续性 | 寻找一个度，使得该度内所有集合关于另一种可归约性是全序的，包括定义和寻找方法 | #### 研究展望 我们的研究虽然已经取得了许多重要的结果，但仍有很多问题有待解决。 - **可归约性结构的进一步研究**：对于 ibT 和 cl 可归约性的度结构，还有很多方面可以深入探索。例如，我们可以研究这些度结构中的其他特殊元素，如最小覆盖、可分配性等。我们还可以考虑将这些可归约性与其他可计算性理论中的概念相结合，探索更复杂的结构关系。 - **高阶运算的研究扩展**：除了超幂运算，我们提到的迭代超幂运算（pentration）、迭代迭代超幂运算（hexation）等高阶运算具有很大的研究潜力。我们计划将目前的工作扩展到 \(A^- = \bigcup_{n \in N} A^-_n\)，研究 \((A^-_n, \preceq)\) 的序结构。如果前面提到的条件 \(\forall f \in S^* \exists n < \omega [O(x^{f + 1}) \leq O(x^f)^{(n)}]\) 成立，那么 \(O(S^* \preceq) = \tau_0\)，这将是一个非常重要的结果，我们希望在不久的将来能够解决这个问题。 - **与其他领域的联系**：可计算性理论中的可归约性结构与其他领域可能存在着紧密的联系。例如，在信息论、密码学等领域，可归约性的概念可以用于衡量信息的复杂度和安全性。我们可以探索如何将我们的研究成果应用到这些领域，或者从这些领域中获取新的研究灵感。 总之，我们对斯科伦函数与超幂运算的良序性以及 ibT 和 cl 可归约性的度结构的研究是一个持续的过程，未来还有很多有趣的问题等待我们去解决。通过不断的探索和研究，我们有望揭示可计算性理论中更多的奥秘，为相关领域的发展做出贡献。