柔性命题的真值度逻辑及推理

# 柔性命题的真值度逻辑及推理 ## 1. 基本复合命题的真值度计算 ### 1.1 直接计算模型 当 \(A \subseteq U\) 且 \(B \subseteq V\) 时，原命题 \(q\) 可重写为 \(y\) 是 \(B\)，问题可归结为之前的情况。将命题中的 \(x\) 和 \(y\) 视为变量，可得基本复合命题指称真值度的一组计算公式： - \(t(p \land q) = \min\{m_A(x), m_B(y)\}\) \((11.48)\) - \(t(p \lor q) = \max\{m_A(x), m_B(y)\}\) \((11.49)\) - \(t(\neg p) = 1 - m_A(x)\) \((11.50)\) - \(t(p \to q) = \max\{1 - m_A(x), m_B(y)\}\) \((11.51)\) - \(t(p \leftrightarrow q) = \min\{\max\{1 - m_A(x), m_B(y)\}, \max\{m_A(x), 1 - m_B(y)\}\}\) \((11.52)\) 其中 \(x \in U\) 且 \(y \in V\)（\(U\) 和 \(V\) 可以相同）。这组公式是定义在相应测量范围上的函数，分别对应 5 种基本复合命题的指称真值度函数。 ### 1.2 间接计算模型 #### 1.2.1 指称真值度的间接计算 由于复合命题的隶属函数是其组成命题隶属函数 \(m_A(x)\) 和 \(m_B(y)\) 的函数，且 \(m_A(x) = t(p)\)，\(m_B(y) = t(q)\)，可得： - \(t(p \land q) = \min\{t(p), t(q)\}\) \((11.53)\) - \(t(p \lor q) = \max\{t(p), t(q)\}\) \((11.54)\) - \(t(\neg p) = 1 - t(p)\) \((11.55)\) - \(t(p \to q) = \max\{1 - t(p), t(q)\}\) \((11.56)\) - \(t(p \leftrightarrow q) = \min\{\max\{1 - t(p), t(q)\}, \max\{t(p), 1 - t(q)\}\}\) \((11.57)\) 这组公式描述了复合命题 \(p \land q\)、\(p \lor q\)、\(\neg p\)、\(p \to q\)、\(p \leftrightarrow q\) 的指称真值度与组成命题 \(p\) 和 \(q\) 的指称真值度之间的关系。当已知 \(p\) 和 \(q\) 的指称真值度时，可间接计算相应复合命题的指称真值度。 #### 1.2.2 内涵真值度的间接计算 同理，由 \(c_A(x) = t(p)\) 和 \(c_B(y) = t(q)\)，从复合命题内涵真值度的定义表达式可推导出： - \(t(p \land q) = \min\{t(p), t(q)\}\) \((11.58)\) - \(t(p \lor q) = \max\{t(p), t(q)\}\) \((11.59)\) - \(t(\neg p) = 1 - t(p)\) \((11.60)\) - \(t(p \to q) = \max\{1 - t(p), t(q)\}\) \((11.61)\) - \(t(p \leftrightarrow q) = \min\{\max\{1 - t(p), t(q)\}, \max\{t(p), 1 - t(q)\}\}\) \((11.62)\) 这 5 个方程描述了复合命题的内涵真值度与组成命题内涵真值度之间的关系。当已知 \(p\) 和 \(q\) 的内涵真值度时，可间接计算相应复合命题的内涵真值度。 指称真值度函数的定义域和值域分别为 \([0, 1] \times [0, 1]\) 和 \([0, 1]\)，内涵真值度函数的定义域和值域分别为 \([\alpha_A, \beta_A] \times [\alpha_B, \beta_B]\)（\(\alpha_A \leq 0\)，\(1 \leq \beta_A\)；\(\alpha_B \leq 0\)，\(1 \leq \beta_B\)）和 \([\alpha, \beta]\)（\(\alpha \leq 0\)，\(1 \leq \beta\)）。 此外，从否定命题的真值度计算公式 \(t(\neg p) = 1 - t(p)\) 可得 \(t(p) + t(\neg p) = 1\)，这就是一对相对否定命题的真值度关系，称为真值度的互补律。 ## 2. 柔性命题的真值度范围及其对称性 ### 2.1 指称真值度范围 所有柔性命题的指称真值度范围是实数区间 \([0, 1]\)，通常称 \([0, 1]\) 为柔性命题的指称真值度范围。相对否定命题的真值度互补关系表明，一对相对否定命题的真值度关于 \(0.5\) 对称，区间 \([0, 1]\) 包含了所有相对否定命题的指称真值度，且以 \(0.5\) 为中心对称。 ### 2.2 内涵真值度范围 一个柔性语言值 \(A\) 确定一个柔性命题簇 \(\{A(x_0) | x_0 \in U\}\) 和一个内涵真值度范围 \([\alpha_A, \beta_A]\)（\(\alpha_A \leq 0\)，\(1 \leq \beta_A\)），其否定值 \(\neg A\) 确定一个柔性命题簇 \(\{\neg A(x_0) | x_0 \in U\}\) 和一个内涵真值度范围 \([\alpha_{\neg A}, \beta_{\neg A}]\)（\(\alpha_{\neg A} \leq 0\)，\(1 \leq \beta_{\neg A}\)）。则 \([\alpha, \beta] = [\alpha_A, \beta_A] \cup [\alpha_{\neg A}, \beta_{\neg A}] = [\min\{\alpha_A, \alpha_{\neg A}\}, \max\{\beta_A, \beta_{\neg A}\}]\) 是柔性命题簇 \(\{A(x_0) | x_0 \in U\} \cup \{\neg A(x_0) | x_0 \in U\}\) 中命题的内涵真值度范围。 对于任意 \(p \in \{A(x_0) | x_0 \in U\} \cup \{\neg A(x_0) | x_0 \in U\}\)，有 \(\neg p \in \{A(x_0) | x_0 \in U\} \cup \{\neg A(x_0) | x_0 \in U\}\)，由真值度的互补律 \(t(p) + t(\neg p) = 1\) 可知，真值度 \(t(p)\) 和 \(t(\neg p)\) 关于 \(0.5\) 对称。由于 \(p\) 是任意选取的，所以真值度范围 \([\alpha, \beta]\)（\(\alpha \leq 0\)，\(1 \leq \beta\)）是以 \(0.5\) 为对称中心的实数区间。 因为真值度范围 \([\alpha, \beta]\) 关于 \(0.5\) 对称，所以 \(\alpha + \beta = 1\)，即 \(\alpha = 1 - \beta\)，\(\beta = 1 - \alpha\)，因此 \([\alpha, \beta] = [1 - \beta, \beta] = [\alpha, 1 - \alpha]\)。从现在起，用 \([1 - \beta, \beta]\)（\(1 \leq \beta\)）表示内涵真值度范围。 真值度范围关于 \(0.5\) 对称的特性保证了真值度 \(t(\neg p) = 1 - t(p)\) 总是可计算的，即真值度范围在真值度的否定运算（后续定义）下是封闭的。 ## 3. 代数复合柔性命题及真值度计算 ### 3.1 代数复合柔性命题的定义 前面提到的复合柔性命题是用连接词“且”和“或”形成的普通复合柔性命题。此外，还有用“加”形成的复合柔性命题，如“他有天赋加他勤奋”。由于这种复合柔性命题的组成命题之间的关系不是逻辑合取或析取，而是代数合成，所以称这种复合柔性命题为代数复合柔性命题。为了区分，称普通复合柔性命题为逻辑复合柔性命题。 在日常语言中，人们有时也用连接词“且”而非严格的“加”来描述代数复合柔性命题。用 \(\oplus\) 表示“加”，一般地，“\(A(x_0)\) 加 \(B(y_0)\)” 可符号化为 “\(A(x_0) \oplus B(y_0)\)”。 ### 3.2 相关命题类型 - **合成语言值的柔性命题**：设 \(A_1(x_{10}) \oplus A_2(x_{20}) \oplus \cdots \oplus A_n(x_{n0})\) 为代数复合柔性命题，其隶属形式表示为 \(A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots \oplus A_n(x_{10}, x_{20}, \cdots, x_{n0})\)，称这种形式的命题为具有合成语言值的柔性命题。 - **组合语言值的柔性命题**：称 \(A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_n(x_{10}, x_{20}, \cdots, x_{n0})\) 和 \(A_1 \lor A_2 \lor \cdots \lor A_n(x_{10}, x_{20}, \cdots, x_{n0})\) 形式的命题为具有组合语言值的柔性命题。 - **复合语言值的柔性命题**：组合语言值和合成语言值统称为复合语言值，相应的命题称为具有复合语言值的柔性命题。 ### 3.3 合成语言值柔性命题的真值度计算 设 \(A_i\) 是测量空间 \(U_i\) 上的柔性语言值，\(x_{i0} \in U_i\)（\(i = 1, 2, \cdots, n\)），\(A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots \oplus A_n(x_{10}, x_{20}, \cdots, x_{n0})\) 是具有合成语言值的柔性命题。根据柔性命题内涵真值度的定义及相关公式可得： \(t(A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots \oplus A_n(x_{10}, x_{20}, \cdots, x_{n0})) = c_{