物理单位、伸缩变换及粒子自旋相关知识解析

### 物理单位、伸缩变换及粒子自旋相关知识解析 #### 1. 物理单位与伸缩变换 在处理物理问题时，物理单位和伸缩变换是非常重要的概念。首先来看势能\(\frac{1}{\vert x\vert}\)的情况，有如下关系： \(\frac{1}{\vert x\vert}U_{\lambda}\varphi(x) = \lambda^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\vert x\vert} \varphi(\lambda x) = \lambda^{\frac{3}{2}} \lambda \frac{1}{\vert \hat{x}\vert} \varphi(\hat{x})\)，进而得到\(\frac{1}{\vert x\vert}U_{\lambda}\varphi(x) = \lambda U_{\lambda}\frac{1}{\vert x\vert} \varphi(x)\)，应用\(U_{\lambda}\)到等式两边后，有\(U_{\lambda}^{\dagger}\frac{1}{\vert x\vert} U_{\lambda} = \lambda \frac{1}{\vert x\vert}\)。 以无单位的定态薛定谔方程\(-\frac{1}{2} \Delta\psi(x) - \frac{1}{\vert x\vert} \psi(x) = E \psi(x)\)为例，令\(\psi(x) = U_{\lambda} \varphi(x)\)，经过一系列运算（除以\(\lambda^{\frac{3}{2}}\)并利用相关公式），当\(\lambda = r_0\)时，可得到物理单位下的定态薛定谔方程\(-\frac{\hbar^2}{2m}\hat{\Delta}\varphi(\hat{x}) - \frac{\gamma}{\vert \hat{x}\vert} \varphi(\hat{x}) = \hat{E} \varphi(\hat{x})\)，其中\(\hat{x} = r_0 x\)，\(\hat{E} = \frac{m\gamma^2}{\hbar^2} E = \frac{\gamma}{r_0}E\)。 物理单位下的定态薛定谔方程的本征值为\(\hat{E}_n = \frac{m\gamma^2}{\hbar^2} E_n = \frac{m\gamma^2}{2\hbar^2n^2} = Z^2R_Hhc \frac{1}{n^2}\)，\(n = 1, 2, 3, \cdots\)。这里引入了氢的里德伯常数\(R_H = \frac{m\gamma_0^2}{4\pi\hbar^3c}\)，若将电子 - 质子系统的约化质量\(\frac{m_em_p}{m_e + m_p}\)代入\(m\)，可得\(R_H \approx 1.09678 \times 10^{-7}m\)，与光谱测定值相符。在玻尔模型中，令\(m = m_e\)，定义里德伯常数\(R_{\infty} = \frac{m_e\gamma_0^2}{4\pi\hbar^3c}\)。 原子能量单位是哈特里\(E_h = \frac{m_e\gamma_0^2}{\hbar^2}\)，根据玻尔模型，氢原子的能量为\(E_n = -\frac{1}{2n^2} E_h = -\frac{m_e\gamma_0^2}{2\hbar^2n^2} = -\frac{\gamma_0}{a_0} \frac{1}{2n^2} = -\frac{R_{\infty}hc}{n^2}\)。另一个常用的原子物理能量单位是电子伏特，\(1 eV \approx 1.60218 \times 10^{-19} J\)，氢原子基态能量\(E_1 = -\frac{E_h}{2} = R_{\infty}hc = 2.17987 \times 10^{-18} J = 13.60569 eV\)。 通过伸缩变换\(U_{r_0}\)（\(r_0\)为玻尔半径），已知无单位下的归一化本征函数，可得到类氢原子的归一化本征函数\(\varphi_{n,\ell,m}(\hat{x}) = (\frac{1}{r_0})^{\frac{3}{2}} \psi_{n,\ell,m}(\frac{\hat{x}}{r_0})\)，且本征函数的角部分\(Y_{\ell}^m\)不受伸缩变换影响。 下面是相关知识点的表格总结： | 名称 | 表达式 | | ---- | ---- | | 势能关系 | \(\frac{1}{\vert x\vert}U_{\lambda}\varphi(x) = \lambda U_{\lambda}\frac{1}{\vert x\vert} \varphi(x)\) | | 无单位定态薛定谔方程 | \(-\frac{1}{2} \Delta\psi(x) - \frac{1}{\vert x\vert} \psi(x) = E \psi(x)\) | | 物理单位定态薛定谔方程 | \(-\frac{\hbar^2}{2m}\hat{\Delta}\varphi(\hat{x}) - \frac{\gamma}{\vert \hat{x}\vert} \varphi(\hat{x}) = \hat{E} \varphi(\hat{x})\) | | 本征值 | \(\hat{E}_n = \frac{m\gamma^2}{\hbar^2} E_n = \frac{m\gamma^2}{2\hbar^2n^2} = Z^2R_Hhc \frac{1}{n^2}\) | | 里德伯常数（氢） | \(R_H = \frac{m\gamma_0^2}{4\pi\hbar^3c}\) | | 里德伯常数（玻尔模型） | \(R_{\infty} = \frac{m_e\gamma_0^2}{4\pi\hbar^3c}\) | | 原子能量单位（哈特里） | \(E_h = \frac{m_e\gamma_0^2}{\hbar^2}\) | | 氢原子能量（玻尔模型） | \(E_n = -\frac{1}{2n^2} E_h = -\frac{m_e\gamma_0^2}{2\hbar^2n^2} =