反应扩散方程与有限维系统互联的稳定性分析洞察

### 反应扩散方程与有限维系统互联的稳定性分析洞察 #### 1. 引言 无限维系统在稳定性或镇定问题上存在诸多挑战。当无限维算子的特征值分解无法解析给出时，系统的稳定性往往未知，需要专门研究。例如，分析与偏微分方程耦合的系统的稳定性就是一项艰巨任务，相关研究较少。目前多数研究通过设计无限维控制律来实现此类系统的镇定。 在数值分析领域，研究者通过空间离散化或tau方法近似求解。在耗散条件下，数值方案具有收敛性，但不涉及原系统的稳定性。因此，对于互联的常 - 偏微分方程，输入 - 状态或Lyapunov方法更受青睐。对于一般情况，二次约束和完整的Lyapunov泛函可通过半定规划求解稳定性判据。为了细化和理解这些结果，人们对模型和稳定性充分条件中的不等式进行了研究。对于输运、热或波动方程，可构建包含偏微分部分勒让德多项式系数的增广系统，应用Bessel - Legendre不等式得到以线性矩阵不等式表示的分层稳定性结果。而对于反应扩散方程，需要引入Wirtinger不等式。本文旨在通过揭示Fourier - Legendre级数来强调线性矩阵不等式的结构，这可看作是对以往研究的扩展，能更深入理解稳定性条件的底层结构。 本文提出了一种判断常微分方程与反应扩散方程互联系统稳定性的数值方法。其创新之处在于模型变换，通过定义基于Fourier - Legendre余项的信号，可将Bessel - Legendre和Wirtinger不等式以简洁形式重写。围绕这些信号构建动态模型，并与Padé (n - 1|n)逼近相关联，包含基于前几个Fourier - Legendre多项式系数的扩展有限维部分。采用基于该增广系统的二次Lyapunov函数，可得到严格的线性矩阵不等式稳定性条件，并通过数值结果验证逼近和稳定性判据的有效性。 #### 2. 系统介绍 ##### 2.1 互联系统 考虑由线性常微分方程和反应扩散偏微分方程组成的互联系统，具有交叉型边界条件： \[ \begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bz(t, 1), & \forall t \in R_{\geq 0} \\ \partial_tz(t, \theta) = (\delta\partial_{\theta\theta} + \lambda)z(t, \theta), & \forall (t, \theta) \in R_{\geq 0} \times (0, 1) \\ \begin{bmatrix} z(t,0) \\ \partial_{\theta}z(t,1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ Cx(t) \end{bmatrix}, & \forall t \in R_{\geq 0} \\ (x(0), z(0, \cdot)) = (x_0, z_0) \end{cases} \] 其中，系数\(\delta > 0\)，\(\lambda \in R\)，矩阵\(A \in R^{n_x\times n_x}\)，向量\(B, C^T \in R^{n_x}\)为已知常数。 **注1**：本文选择交叉型边界条件是为了使结果更易理解，该方法可轻松扩展到Dirichlet、Neumann或Robin边界条件。 **注2**：系统的稳定性分析并不简单，经过一些变换后，系统算子可表示为复杂形式，由于常微分方程和偏微分方程完全互联，无法进行特征基分解。 ##### 2.2 解的存在性和唯一性 在研究系统稳定性之前，需证明系统在偏微分方程部分具有非平凡边界条件时是适定的。 **命题1**：假设\((x_0, z_0) \in R^{n_x} \times L^2(0, 1; R)\)，则系统存在连续且唯一的解\((x, z) \in R^{n_x} \times L^2(0, 1; R)\)。 **证明**：定义系统能量\(E(t) = x^T(t)x(t) + (2\delta)^{-1}\|z(t)\|^2_{0,1}\)，对其求导并进行一系列计算，利用Young不等式消除交叉项，再结合Jensen不等式，可得\(\frac{d}{dt}E(t) \leq KE(t)\)，其中\(K\)是依赖于\(A, B, C, \lambda, \epsilon\)的常数。根据Grönwall不等式，存在唯一解。 **注3**：在后续研究稳定性时，选择的Lyapunov泛函与能量\(E(t)\)在\(R^{n_x} \times L^2(0, 1; R)\)意义下等价，同时会用Wirtinger不等式对\(\|z\|\)的正项进行上界估计，并利用Bessel - Legendre不等式改进Jensen不等式。 ##### 2.3 平衡点 确定系统的平衡点也很重要，需明确系统在何种条件下有唯一平衡点。 **命题2**：系统存在唯一平衡点\((0, 0)\)当且仅当矩阵\(\varPhi\)满秩，其中\(\varPhi\)定义如下： \[ \varPhi = \begin{cases} \begin{bmatrix} A & B\sinh(\tilde{\lambda}) \\ C & -\tilde{\lambda}\cosh(\tilde{\lambda}) \end{bmatrix}, & \text{if } \lambda < 0 \\ \begin{bmatrix} A & B \\ C & -1 \end{bmatrix}, & \text{if } \lambda = 0 \\ \begin{bmatrix} A & B\sin(\tilde{\lambda}) \\ C & -\tilde{\lambda}\cos(\tilde{\lambda}) \end{bmatrix}, & \text{if } \lambda > 0 \end{cases} \] 其中\(\tilde{\lambda} = \sqrt{|\lambda|/\delta}\)。 **证明**：设\((\bar{x}, \bar{z})\)为系统的平衡点，根据平衡点的定义列出方程组，对偏微分方程积分并结合边界条件得到\(\bar{z}(\theta)\)的表达式，再代入其他方程得到\(\varPhi\begin{bmatrix} \bar{x} \\ \gamma \end{bmatrix} = 0\)，所以系统有唯一解\((\bar{x}, \bar{z}) = (0, 0)\)当且仅当\(\det(\varPhi) \neq 0\)，即\(\varPhi\)满秩。 ##### 2.4 预期结果 在上述条件下，本文的目标是使用线性矩阵不等式框架准确判断平衡点\((0, 0)\)的稳定性，具体结果如下： - 提出基于Lyapunov方法的可扩展稳定性分析，利用勒让德多项式构建精确的Lyapunov泛函进行分析，计算过程受以往研究启发，并因反应扩散方程采用更简单边界条件而简化。 - 与以往研究不同，通过引入Legendre - Fourier级数的余项进行分