离散时间分段仿射（PWA）系统与逻辑状态的分析

# 离散时间分段仿射（PWA）系统与逻辑状态的分析 ## 1. 引言 离散时间分段仿射（PWA）系统在许多实际应用中具有重要意义，特别是当系统包含逻辑状态时。本文将深入探讨这类系统的稳定性和性能分析，介绍相关的理论和算法。 ## 2. 系统模型与状态轨迹 考虑一个PWA - LC系统，其状态轨迹由连续状态 $(x_{c,1}(k), x_{c,2}(k))$ 组成。例如，从初始状态 $x(0) = [0.95, 1, 0]^T$ 出发的状态轨迹如图1所示。 该系统的矩阵定义如下： ```plaintext A1 =   ¯ A1 0 0 0 0 0   , A2 =   ¯ A2 0 0 0 0 0   , A3 =   ¯ A4 0 0 0 0 0   , (14) A4 =   ¯ A4 0 0 0 0 0   , A5 =   ¯ A3 0 0 0 0 0   , A6 =   ¯ A3 0 0 0 0 0   (15) a1 =  ¯a1 0  , a2 =  ¯a2 1  , a3 =  ¯a4 1  , a4 =  ¯a4 1  , a5 =  ¯a3 0  , a6 =  ¯a3 0  , (16) Bi =  0 0 0 T , i = 1, . . . , 6. (17) ``` 系统的单元定义为： ```plaintext X1 = X2 = R1, X3 = X4 = R3, X5 = X6 = R2 (18) ¯xℓ,1 = ¯xℓ,3 = ¯xℓ,6 = 0, ¯xℓ,2 = ¯xℓ,4 = ¯xℓ,5 = 1. (19) ``` 值得注意的是，接近原点的状态轨迹不会停留在单个单元中，而是在不同单元之间连续切换。 ## 3. PWA - LC系统的稳定性分析 ### 3.1 系统模型与假设 自治PWA - LC系统可以表示为以下形式： ```plaintext x(k + 1) = Aix(k) + ai, for C(x(k)) ∈Xi L(x(k)) = ¯xℓ,i (20) ``` 其中 $C(x)$ 属于可允许状态集合 $X = (\cup_{i = 1}^{s} X_i) \subseteq R^{n_c}$，单元 $\{X_i\}_{i = 1}^{s}$ 是多面体，矩阵 $A_i$ 和 $a_i$ 具有块结构： ```plaintext Ai =
Ac,i 0 0 0  , ai =
ac,i aℓ,i  , Ac,i ∈ R^{n_c × n_c}, ac,i ∈ R^{n_c × 1}. (21) ``` 我们假设原点 $x_c = 0$ 是系统的平衡点，即对于所有 $i \in I_0$，有： ```plaintext C { Ai
0 ¯xℓ,i  (k) + ai } = 0 (22) ``` 这意味着对于 $i \in I_0$，$a_{c,i} = 0$，但逻辑状态 $x_{\ell}(k)$ 不一定是常数。 ### 3.2 拉格朗日稳定性定义 定义拉格朗日稳定性：设 $X_0 \subseteq X$ 且 $0 \in X_0$，如果存在系数 $K > 0$，$0 < \gamma < 1$ 和时间 $k$，使得对于所有满足 $C(x(0)) \in X_0$ 的初始状态 $x(0)$，有 $\|x_c(k)\|_2 \leq K\gamma^k\|x_c(0)\|_2$，则平衡点 $x_c = 0$ 在 $X_0$ 上是指数稳定的。 ### 3.3 李雅普诺夫函数与稳定性条件 为了分析 $x_c = 0$ 的稳定性，我们使用一类特殊的李雅普诺夫函数： ```plaintext V(x_c) = x_c^T P_i(x_c) x_c, ∀x_c ∈ X_i (23) ``` 其中 $P_i : X_i \to R^{n_c × n_c}$，满足 $x_c^T P_i(x_c) x_c > 0$ 对于所有 $x_c \in X_i \setminus \{0\}$，且 $P_i(x_c)$ 的最大和最小特征值有界。 可能的矩阵 $P_i(\cdot)$ 选择如下： 1. 如果 $X_i$ 有界，则 $P_i(\cdot)$ 为连续函数； 2. 如果 $X_i$ 无界，则 $P_i(\cdot)$ 为常数矩阵。 ### 3.4 稳定性定理 定理：设假设2成立，$X_0$ 是满足假设1的初始状态集合。如果存在如式(23)所示的函数 $V(x_c)$，其前向差分 $\Delta V(k + 1, k) = V(x_c(k + 1)) - V(x_c(k)) < 0$ 对于所有 $k \geq 0$ 成立，则平衡点 $x_c = 0$ 在 $X_0$ 上是指数稳定的。 ### 3.5 LMI算法用于指数稳定性分析 为了检查稳定性条件，我们可以采用以下两种形式的李雅普诺夫函数： - **形式i**：$P_i(x_c) = P_i$，对于所有 $x_c \in X_i$，这导致所谓的分段二次（PWQ）稳定性。 - **形式ii**：$P_i(x_c) = \sum_{j = 0}^{N} P_i(j) \rho_i(j)