SLAM问题的数学建模与编程实践

### SLAM问题的数学建模与编程实践 #### 1. SLAM问题的数学建模 在SLAM（同时定位与地图构建）中，我们需要用数学语言来描述一个携带传感器的设备在未知环境中的运动和观测过程。 ##### 1.1 离散时间步与变量定义 由于传感器通常在不同时间点收集数据，我们将连续的过程转化为离散的时间步，记为1, …, k。用 $x$ 表示设备的位置，不同时间步的位置可表示为 $x_1, …, x_k$，它们构成了设备的轨迹。地图由若干地标组成，假设地图中共有 $N$ 个地标，用 $y_1, …, y_N$ 表示。 设备在环境中的运动过程主要包括两部分： 1. **运动描述**：描述位置 $x$ 如何从时间步 $k - 1$ 变化到 $k$。 2. **传感器观测**：描述设备在位置 $x_k$ 检测到特定地标 $y_j$ 这一事件。 ##### 1.2 运动方程 通常，我们会向机器人发送一些运动命令，如“向左转15度”。这些命令最终由控制器执行，执行方式可能多种多样。我们可以用一个通用的抽象数学模型来描述运动： $x_k = f(x_{k - 1}, u_k, w_k)$ (1.1) 其中，$u_k$ 是输入命令，$w_k$ 是噪声。这里使用一般的 $f(·)$ 来描述过程，而不指定其具体形式，这样该函数可以表示任何运动输入。由于噪声的存在，这是一个随机模型。例如，即使下达“向前移动一米”的命令，机器人实际移动的距离可能是0.9米或1.1米。如果忽略噪声，经过一段时间后，仅根据输入命令确定的位置可能与实际位置相差甚远。 ##### 1.3 观测方程 观测方程描述了设备在 $x_k$ 位置看到地标点 $y_j$ 并生成观测数据 $z_{k, j}$ 的过程。同样，我们用抽象函数 $h(·)$ 来描述这种关系： $z_{k, j} = h(y_j, x_k, v_{k, j})$ (1.2) 其中，$v_{k, j}$ 是观测中的噪声。由于观测传感器多种多样，观测数据 $z$ 和观测方程 $h$ 也可能有多种不同形式。 ##### 1.4 参数化方法 根据实际运动和传感器类型，有多种参数化方法。 - **运动方程参数化示例**：假设机器人在平面上运动，其位姿 $x_k$ 由两个 $x - y$ 坐标和一个角度描述，即 $x_k = [x_1, x_2, θ]^T_k$，输入命令 $u_k$ 是时间间隔内的位置和角度变化 $u_k = [\Delta x_1, \Delta x_2, \Delta θ]^T_k$，则运动方程可参数化为： $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ θ \end{bmatrix}_k = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ θ \end{bmatrix}_{k - 1} + \begin{bmatrix} \Delta x_1 \\ \Delta x_2 \\ \Delta θ \end{bmatrix}_k + w_k$ (1.3) 这里 $w_k$ 是噪声。这是一个简单的线性关系，但并非所有输入命令都是位置和角度变化，例如“油门”或“操纵杆”的输入是速度或加速度，此时需要进行动力学分析。 - **观测方程参数化示例**：若机器人携带二维激光传感器，激光通过测量地标点与机器人之间的距离 $r$ 和角度 $φ$ 来观测二维地标。设地标位置为 $y_j = [y_1, y_2]^T_j$，位姿为 $x_k = [x_1, x_2]^T_k$，观测数据为 $z_{k, j} = [r_{k, j}, φ_{k, j}]^T$，则观测方程为： $\begin{bmatrix} r_{k, j} \\ φ_{k, j} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{(y_{1, j} - x_{1, k})^2 + (y_{2, j} - x_{2, k})^2} \\ \arctan(\frac{y_{2, j} - x_{2, k}}{y_{1, j} - x_{1, k}}) \end{bmatrix} + v_{k, j}$ (1.4) ##### 1.5 通用方程与状态估计问题 将上述方程概括为通用形式，SLAM过程可总结为两个基本方程