基于密度网格聚类分区与资源分配网络的模型研究

### 基于密度网格聚类分区与资源分配网络的模型研究 #### 1. RBF神经网络输入空间的密度网格聚类分区 在RBF神经网络中，输入空间的合理分区对于网络性能至关重要。通过密度网格聚类分区方法，可以更有效地选择隐藏节点，提升网络的准确性和训练效率。 ##### 1.1 隐藏节点的选择 在完成网格分区和组合后，输入空间被划分为 $S'$ 个子空间，即 $S' = \prod_{i = 1}^{N}d_i$。为了选择合适的子空间均匀覆盖输入数据分布，引入了多维隶属函数。对于第 $l$ 个子空间和输入向量 $x(k)$，其隶属函数定义为： \[ \mu_{A_l}(x(k)) = \begin{cases} 1 - rd_l(x(k)), & rd_l(x(k)) \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \] 其中，$rd_l(x(k))$ 是子空间 $A_l$ 与输入向量 $x(k)$ 的欧几里得相对距离。 选择隐藏节点中心的步骤如下： 1. 初始化聚类数 $L = 1$ 和训练数据 $x(k)$（$k = 1$）。计算输入向量 $x(1)$ 在每个子空间的隶属度，选择隶属度最大的子空间作为第一个聚类中心 $A_{l = 1}$，并令 $k = 2$。 2. 分别计算 $x(k)$ 与每个已生成聚类中心的欧几里得相对距离 $rd_l(x(k))$。 3. 记 $min(rd_l(x(k)))$ 为 $rd_l(x(k))$ 的最小值。若 $rd_l(x(k)) \leq 1$，表示存在一个聚类覆盖 $x(k)$，则令 $k = k + 1$，并计算 $rd_l(x(k)) = \frac{1}{N\delta^2}\sum_{i = 1}^{N}(x_i(k) - a_{i,l})^2$，然后返回步骤2；否则，需要生成一个新的聚类，令 $L = L + 1$。 4. 计算 $x(k)$ 在每个子空间的隶属度，选择隶属度最大的子空间作为第 $L$ 个聚类中心 $A_l$。令 $k = k + 1$，返回步骤2，直到完成所有训练数据的计算。 经过上述步骤，会生成 $L$ 个聚类。对于任意的 $x(k)$，都存在一个聚类中心，其欧几里得相对距离不超过1。因此，这些聚类中心可以作为RBF神经网络的隐藏节点中心。隐藏节点的宽度可以通过 $P$-最近邻启发式方法计算，本文中 $P$ 的值约为隐藏节点数量的50%。 ##### 1.2 示例与仿真 以化学工程中的非等温连续搅拌釜式反应器（CSTR）为例，该过程由以下方程描述： \[ \frac{dC_A}{dt} = \frac{F}{V}(C_{A,in} - C_A) - k_0C_A\exp(-\frac{E}{RT}) \] \[ \frac{dT}{dt} = \frac{F}{V}(T_{in} - T) + \frac{UA}{V\rho c_p}(T_j - T) + \frac{(-\Delta H_R)}{\rho c_p}k_0C_A\exp(-\frac{E}{RT}) \] 其中，$C_A$ 和 $T$ 分别是反应器内反应物的浓度和温度，$F$、$C_{A,in}$、$T_{in}$ 和 $T_j$ 是系统的输入变量，$V$ 是CSTR的体积，$(-\Delta H_R)$ 是反应热等。系统参数取值如下表所示： | 参数 | 值 | 单位 | | ---- | ---- | ---- | | $V$ | 100 | L | | $UA$ | 20000 | J/s·K | | $\rho$ | 1000 | g/L | | $c_p$ | 4.2 | J/g·K | | $(-\Delta H_R)$ | 596619 | J/mol | | $k_0$ | $6.85×10^{11}$ | L/s·K | | $E$ | 76534.704 | J/mol | | $R$ | 8.314 | J/mol·K | 在Matlab中使用Simulink构建反应器模型，向输入变量的稳态值添加干扰，假设干扰范围为输入变量的5%。输入变量的稳态值如下表所示： | 变量 | 值 | | ---- | ---- | | $F$ | 20 L/s | | $C_{A,in}$ | 275 K | | $T_{in}$ | 250 K | | $T_j$ | 1 mol/L | 采样周期 $T_a = 1s$，从系统方程计算2000个输出数据，前1000个样本用于训练神经网络，后1000个数据用于测试神经网络的准确性。测试数据的均方误差（SSE）计算公式为： \[ SSE = \sum_{i = 1}^{N}(y_i - \hat{y}_i)^2 \] 其中，$y_i$ 是系统的真实数据值，$\hat{y}_i$ 是神经网络的估计值。 分别使用均匀分区方法和本文提出的网格聚类分区方法训练RBF神经网络，结果如下表所示： | 均匀分区结果 | | | | | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | $C$ | $L$ | $SSE_1$ | $SSE_2$ | $T$ | | 4 | 12 | 0.018 | 26349 | 0.55 | | 5 | 285 | 0.026 | 3710 | 6.95 | | 6 | 898 | 0.014 | 9508 | 67.52 | | 7 | 999 | 0.015 | 8988 | 76.48 | | 8 | 1000 | 0.013 | 10028 | 75.04 | | 密度分区结果 | | | | | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | $id$ | $K/m$ | $L$ | $SSE_1$ | $SSE_2$ | $T$ | | 12 | 142 | 72 | 0.010 | 21579 | 3.38 | | 19 | 167 | 177 | 0.009 | 9514 | 11.08 | | 37 | 200 | 214 | 0.020 | 2943 | 10.01 | | 17 | 143 | 185 | 0.007 | 7351 | 7.52 | | 17 | 167 | 165 | 0.003 | 7802 | 7.52 | 从上述表格可以看出，神经网络的准确性和训练时间随分区集数量和隐藏节点数量的变化而变化。通过合理选择初始分区集和子区间内数据数量的上限，可以创建具有较高准确性和较短训练时间的RBF神经网络。通常，准确性越高，训练时间越长，因此在训练神经网络时需要在模型准确性和训练时间之间进行权衡。 #### 2. 基于资源分配网络的城市空气质量预测方法 城市空气质量受多种因素影响，呈现典型的