自适应点扩散函数实现多聚焦图像深度扩展

### 自适应点扩散函数实现多聚焦图像深度扩展 #### 1. 引言 在成像系统中，景深是指标本前后能保持可接受聚焦的区域。任何成像系统，如摄像机、光学显微镜等，由于镜头的固有特性，图像模糊是不可避免的。系统的景深有限，与数值孔径（NA）相关，无法以相同的清晰度对不同距离的所有物体进行成像，聚焦距离前后的物体都会逐渐失去清晰度。 深度融合可在三个不同的处理级别进行，分别是像素级、特征级和决策级。多聚焦图像融合技术大致可分为两类： - 与颜色相关的技术； - 统计/数值方法。 选择合适的方法很大程度上取决于实际应用。像素级融合常用的技术包括加权组合、优化方法以及基于生物的方法，如神经网络和多分辨率分解。 多尺度和多分辨率技术的基本思想是先对源图像进行拉普拉斯金字塔、小波或复小波变换，然后对变换后的图像进行融合操作，最后通过逆变换重建融合图像。这些技术可以获得图像的空间和频域定位，并提供关于尖锐对比度变化的信息，但会导致大量的内存和时间需求。 支持向量机（SVM）在各种应用中表现优于许多传统方法。Shutao Li 使用离散小波框架变换（DWFT）进行多分辨率分解，然后用支持向量机（SVM）代替选择最大值规则来融合小波系数。Vivek Maik 提出了一种扩展景深的方法，通过在拉普拉斯域中使用滤波器减法抽取来分解源图像，然后使用和修改拉普拉斯算子提取源图像中的聚焦深度。K. Aizawa 提出了一种通过将不同聚焦的图像与模糊函数（高斯函数）进行卷积的算法，但对于多于三张的多聚焦图像，迭代生成算法会很复杂且耗时。 本文研究了一种基于点扩散函数（PSF）的新算法，该算法对噪声具有很强的免疫力。PSF 被用作工具，有意模糊图像中特定的聚焦区域，就像典型的镜头系统对场景中的物体进行失焦成像一样，从而准确地定位图像中的聚焦区域。 #### 2. 通过 PSF 检测聚焦图像 ##### 2.1 基本思想 大多数镜头并非完美的光学系统。当来自单个物点的光线通过有限孔径的镜头时，如果该点完全聚焦，光线会汇聚成一个顶点在 CCD 平面的圆锥；如果物点有些失焦，光线会在 CCD 平面切割汇聚或发散圆锥的位置形成一个圆，这个弥散圆会引入一定程度的模糊。 模糊可以用点扩散函数（PSF）进行数值表征。PSF 是成像系统对输入点源的输出。假设场景的强度分布为 \(I(x_s, y_s, z_s)\)，由典型的镜头系统记录。对于具有点扩散函数 \(P_z\) 的失焦物体，图像函数 \(f(x_i, y_i)\) 可通过以下公式计算： \[f(x_i, y_i) = I(x_s, y_s, z_s) * P_z\] 其中，\(*\) 表示卷积运算符。 同样，对于数字图像，离散模糊图像 \(f(k, l)\) 可以通过将原始清晰图像 \(g(n, m)\) 与离散 PSF 进行卷积得到： \[f(k, l) = \sum_{i = -\infty}^{+\infty} \sum_{j = -\infty}^{+\infty} g(k + i, l + j) h(i, j)\] 其中，函数 \(h\) 是离散 PSF。 比较上述两个公式，它们的方法不同但结果等效。如果离散 PSF \(h\) 选择合适，模糊图像 \(f(k, l)\) 将与图像函数 \(f(x_i, y_i)\) 具有相同的模糊程度。 ##### 2.2 一系列 PSF 根据等晕条件，在同一焦平面上，PSF 在整个视场中具有相同的形状。复杂的 PSF 可以简化为简洁的表达式： \[P(r) = \frac{1}{4r^2}\] 其中，\(r\) 是到模糊圆中心的半径。对于离散情况，它可以表示为一个对称矩阵 \(h\)，其对角元素确定如下： \[h_{ii} = \begin{cases} \frac{1}{n}, & i \leq \frac{n + 1}{2} \\ \frac{1}{n + 1 - i}, & i > \frac{n + 1}{2} \end{cases}\] 其中，\(i = 1, 2, 3, \cdots, n\)，且 \(n\) 为奇数。 定义一个 PSF 向量 \(a\) 如下： \[a_i = h_{ii}\] 则离散 PSF 的矩阵为： \[h = k a a^T\] 其中，\(k\) 是归一化系数，且 \[k = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} a_i^2}\] 例如，定义一个 PSF 向量为： \[a = (1, 4, 6, 4, 1)\] 则 PSF 矩阵 \(h\) 是一个 \(5×5\) 的掩码： \[h = \frac{1}{256} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\ 6 & 24 & 36 & 24 & 6 \\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{bmatrix}\] 以下是用于融合多聚焦图像的一系列 PSF 向量： | PSF | \(a\) | \(k\) | \(WH\) | \(Sr\) | | --- | --- | --- | --- | --- | | \(P_0\) | 1,3,11,3,1 | 441 | 0.52 | 0.4187 | | \(P_1\) | 1,3,10,3,1 | 400 | 0.61 | 0.3460 | | \(P_2\) | 1,3,9,3,1 | 289 | 0.70 | 0.2803 | | \(P_3\) | 1,3,8,3,1 | 256 | 0.85 | 0.2500 | | \(P_4\) | 1,4,8,4,1 | 361 | 0.91 | 0.2244 | | \(P_5\) | 1,3,6,3,1 | 196 | 1.1 | 0.1837 | | \(P_6\) | 1,4,6,4,1 | 256 | 1.3 | 0.1406 | | \(P_7\) | 1,2,3, 2,1 | 81 | 1.4 | 0.1111 | 其中，\(WH\) 是 PSF 的宽度，即 PSF 的半高全宽；\(Sr = P(r) / P_0(r)\)，即失焦图像的 PSF 中心强度与聚焦图像的 PSF 中心强度之比。 当我们将聚焦图像 \(g(n, m)\) 与离散 PSF 进行卷积时，相当于通过低通滤波器得到一个新图像 \(f(k, l)\)。我们可以设置 PSF 矩阵中的不同分量，使模糊图像 \(f(k, l)\) 相对于原始清晰图像 \(g(n, m)\) 具有不同程度的模糊。不同