互连网络的结构特性与容错性分析

### 互连网络的结构特性与容错性分析 #### 1. 图结构分析 在图论的研究中，对于特定图结构的分析是理解其性质的关键。这里我们对不同顶点数量的图 \(H'\) 进行讨论。 - **6 顶点图 \(H'\)**：若 \(H'\) 存在 6 - 环，为避免 3 - 环且满足最小度要求，\(H'\) 需为 \(K_{3,3}\)，但 \(Q_n\) 不含 \(K_{2,3}\) 子图，这就产生矛盾。所以 \(H'\) 存在 4 - 环 \(a–b–c–d–a\)，设不在此环上的顶点为 \(u\)，\(u\) 至少与 4 - 环上的 2 个顶点相邻，这会产生 3 - 环或 \(K_{2,3}\)，同样矛盾。 - **7 顶点图 \(H'\)**： - 若 \(H'\) 有 6 - 环 \(v_1–v_2–v_3–v_4–v_5–v_6–v_1\)，可设第 7 个顶点 \(u\) 与 \(v_1\)、\(v_3\) 和 \(v_5\) 相邻，且 \(u\) 不能与 \(v_2\)、\(v_4\)、\(v_6\) 相邻。由于 \(v_2\)、\(v_4\)、\(v_6\) 度至少为 3，会形成 \(K_{3,3}\)，产生矛盾。 - 若 \(H'\) 有 4 - 环 \(a–b–c–d–a\)，\(a\) 与非相邻顶点 \(x\) 相邻，\(b\) 与 \(y\) 相邻，\(c\) 与 \(z\) 相邻，此时 \(d\) 无法满足度的要求，其度为 2，产生矛盾。 - **8 顶点图 \(H'\)**： - 若 \(H'\) 围长为 6，存在 6 - 环 \(v_1–v_2–v_3–v_4–v_5–v_6–v_1\)，\(v_1\) 与环外顶点 \(x\) 相邻，因图的性质 \(x\) 无法与环上其他顶点相邻，且剩余顶点不足，导致 \(x\) 度最多为 2，产生矛盾。 - 若 \(H'\) 围长为 4，通过类似分析可得 \(H'\) 与 \(Q_3\) 同构，这意味着 \(|T| \geq 8n - 24\)，产生矛盾。 综上，\(Q_n\) 的 3 阶好邻居顶点连通度为 \(8n - 24\)。 #### 2. 受限连通性与组件连通性 受限连通性与超连通性有着紧密的联系，以下是一些相关定理： |定理编号|定理内容| | ---- | ---- | |定理 4.1|设 \(G\) 为 \(r\) - 正则图，若 \(G\) 是 \(q\) 阶超 \(p\) - 边连通的，则 \(q + 1\) 阶受限边连通度至少为 \(p + 1\)。| |定理 4.2|设 \(G\) 为 \(r\) - 正则图，若 \(G\) 是 \(q\) 阶超 \(p\) - 顶点连通的，则 \(q + 1\) 阶受限顶点连通度至少为 \(p + 1\)。| |定理 4.3|当 \(n \geq 4\) 且 \(1 \leq k \leq n - 2\) 时，\(Q_n\) 的 \(k\) 阶受限顶点连通度为 \((kn - k(k + 1)/2)+1\)。| |定理 4.4|设 \(G\) 为 \(r\) - 正则图，若 \(G\) 是 \(q\) 阶超 \(p\) - 边连通的，则 \((q + 2)\) - 组件边连通度至少为 \(p + 1\)。| |定理 4.5|设 \(G\) 为 \(r\) - 正则图，若 \(G\) 是 \(q\) 阶超 \(p\) - 顶点连通的，则 \((q + 2)\) - 组件顶点连通度至少为 \(p + 1\)。| |定理 4.6|当 \(n \geq 4\) 且 \(1 \leq k \leq n - 2\) 时，\(Q_n\) 的 \((k + 1)\) - 组件顶点连通度为 \((kn - k(k + 1)/2)+1\)。| 以定理 4.3 的证明为例，先通过定理 2.3 和定理 4.2 得出 \(Q_n\) 的 \(k\) 阶受限顶点连通度至少为 \((kn - k(k + 1)/2)+1\)，然后通过具体构造，找到一个顶点 \(u\) 及其邻居 \(u_1, u_2, \cdots, u_n\)，考虑由 \(u, u_1, u_2, \cdots, u_{k - 1}\) 诱导的爪形图 \(K_{1,k - 1}\)，通过删除特定顶点集 \(S\) 使 \(Q_n - S\) 形成两个组件，从而证明该值的精确性。 mermaid 流程图如下： ```mermaid graph LR A[开始] --> B[取任意顶点 u] B --> C[确定 u 的邻居 u1,u2,...,un] C --> D[考虑爪形图 K1,k−1] D --> E[计算删除顶点集 S] E --> F[判断 Qn - S 的组件情况] F --> G[得出受限顶点连通度结论] G --> H[结束] ``` #### 3. 条件可诊断性与匹配排除 在多处理器超级计算机中，为了识别故障节点，有两种主要模型：PMC 模型和 MM 模型，其中 MM 模型经修