早期视觉滤波器：从图像中提取关键特征

### 早期视觉滤波器：从图像中提取关键特征 在图像处理领域，滤波器是从原始输入信号中提取视觉信息的重要工具。它们为我们提供了符合生物学原理的方法，能够从图像中提取不同的特征信息。接下来，我们将深入探讨几种常见的滤波器及其应用。 #### 相关与卷积 在介绍具体的滤波器类型之前，理解滤波器如何应用于图像是至关重要的。线性滤波的一种方法是相关，它使用滤波器来获取小邻域内所有像素的加权组合。 假设图像 $I$ 定义在一个 $N \times N$ 的网格 $D$ 上，$\mathbf{I}(x, y) \in \mathcal{L}$ 是图像 $I$ 在位置 $(x, y)$ 处的强度值，其中 $\mathcal{L}$ 是实线上的一个区间或表示像素强度的一组整数。同时，假设滤波器 $F$ 定义在一个比 $I$ 的网格小得多的 $M \times M$ 网格上。相关运算的计算公式如下： \[ \mathbf{I}(x, y) \otimes F = \sum_{(k, l)} \mathbf{I}(x + k, y + l) F(k, l) \] 其中，$\otimes$ 表示相关运算，每个 $F(k, l)$ 是滤波器系数。为了保持图像大小不变，我们在原始图像的边界填充足够的零，使得滤波后的输出图像与原始图像大小相同。 相关运算用于衡量滤波区域与滤波器本身的相似度，但为了提取有意义的信息，更常用的方法是卷积。卷积与相关不同，其定义如下： \[ \mathbf{I}(x, y) * F = \sum_{(k, l)} \mathbf{I}(x - k, y - l) F(k, l) \] 其中，$*$ 表示卷积运算。可以看出，卷积相当于将相关运算的两个轴都进行翻转。使用卷积而不是相关的原因在于，卷积具有结合律，同时还具有交换律和分配律。这意味着，如果需要对图像进行多个滤波器的卷积操作，可以先将这些滤波器相互卷积，然后再应用到图像上。 #### 边缘检测滤波器 图像中的边缘是由像素强度的突然变化组成的。为了检测边缘，自然的方法是检测整个图像中像素值的变化。 如果图像存在于连续域中，我们可以用导数来表示像素强度的变化： \[ \nabla \mathbf{I} = \left[ \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial x}, \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial y} \right] \] 如果只考虑水平边缘或垂直边缘，我们可以分别用 $\left[ \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial x}, 0 \right]$ 或 $\left[ 0, \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial y} \right]$ 来表示像素强度的变化。梯度方向 $\theta$ 可以通过以下公式计算： \[ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{\partial \mathbf{I}}{\partial y}}{\frac{\partial \mathbf{I}}{\partial x}} \right) \] 梯度强度可以通过以下公式计算： \[ \left\| \nabla \mathbf{I} \right\| = \sqrt{ \left( \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial y} \right)^2 } \] 在实际应用中，图像由离散像素组成，因此我们需要对图像导数进行离散近似。关于 $x$ 坐标的导数定义为： \[ \frac{\partial \mathbf{I}(x, y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{I}(x + h, y) - \mathbf{I}(x, y)}{h} \] 其离散近似为： \[ \frac{\partial \mathbf{I}(x, y)}{\partial x} \approx \frac{\mathbf{I}(x + 1, y) - \mathbf{I}(x, y)}{1} \] 为了使用卷积实现这个导数，我们可以使用一个简单的滤波器： \[ F = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix} \] 然而，更常用的一维边缘检测滤波器是： \[ F = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 在连续域中，它对应于一个在两个方向上都有小范围扩展的导数定义： \[ \frac{\partial \mathbf{I}(x, y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{I}(x + h, y) - \mathbf{I}(x - h, y)}{2h} \] 注意，在滤波器中忽略了常数因子 2，因为一致地应用未归一化的滤波器不会影响结果图像的相对强度。 在二维情况下，三种著名的边缘检测滤波器是 Prewitt、Sobel 和 Roberts 滤波器，它们的形式如下： \[ \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \en