布尔组合与实数自动机的体积计算研究

### 布尔组合与实数自动机的体积计算研究 #### 1. 布尔组合体积计算相关内容 在布尔组合的研究中，存在对满足概率的定义。假设有一些定义在 $q$ 个实变量上且范围长度为 $l_R$ 的表达式，对于公式 $\varphi$，其满足概率 $P(\varphi)$ 定义如下： $P(\varphi) = \sum_{\alpha\in Mod(\varphi)} \frac{volume(\alpha_I)}{l_p^I} \times \frac{volume(\alpha_R)}{l_q^R}$ 其中，$\alpha_I$ 是对整数约束的部分赋值，$\alpha_R$ 是对实数约束的部分赋值。可以很容易验证这个概率是明确定义的，并且算法 2 也可以很容易地修改以计算 $P(\varphi)$。 不过，如果公式 $\varphi$ 中的线性约束同时涉及整数和实变量，$P(\varphi)$ 的显式表达式就不明确了，当前算法也不适用于这种情况。但研究发现，除了一些特殊情况，多面体的体积与它包含的整数点的数量非常接近。因此在实践中，可以使用类型转换来统一数据类型，从而得到一个近似结果。 目前的研究还存在一些可以改进的地方： - **算法 2 的优化**：算法 2 是一种即时方法，在程序运行时推导束，束的数量不可预测。若能有一种搜索策略，在不过多增加额外成本的情况下找到少量束，会是更好的选择。 - **赋值的合并**：目前还无法合并某些情况下的赋值，计划设计一种后处理技术，在必要时合并其中一些赋值，这样部分束可能会被合并。 - **引理学习的融入**：将研究如何以最佳方式将引理学习融入当前框架。 #### 2. 自动机相关基础概念 在程序分析和验证领域，需要合适的形式主义来表达系统配置需满足的约束条件。例如 Presburger 算术，即整数的一阶加法理论 $\langle Z, +, \leq \rangle$，它是可判定的，并且足以描述任意线性约束和离散周期性。 ##### 2.1 向量的位置编码 设 $r \in N_{>1}$ 为一个基数。在基数 $r$ 下，位置表示法将实数 $x$ 编码为形式为 $w_I \star w_F$ 的无限字，其中 $\Sigma_r = \{0, 1, ..., r - 1\}$，“$\star$” 是分隔符。有限前缀 $w_I \in \Sigma_r^+$ 编码整数部分 $x_I \in Z$，无限后缀 $w_F \in \Sigma_r^\omega$ 编码小数部分 $x_F \in [0, 1]$，满足 $x_I + x_F = x$。 整数部分 $x_I \in N$ 的编码 $w_I$ 是一个字 $a_{p - 1}a_{p - 2} ... a_0 \in \Sigma_r^+$，使得 $x_I = \sum_{i = 0}^{p - 1} a_i r^i$。对于有符号数 $x_I \in Z$，使用 $r$ 的补码表示，正数（或零）的符号位 $a_{p -