显式高阶步长时间推进方法与GEOS-Chem模型对流层臭氧改进

### 显式高阶步长时间推进方法与GEOS - Chem模型对流层臭氧改进 #### 1. 显式高阶步长时间推进方法 在数值求解常微分方程和偏微分方程时，显式时间推进方法是常用的手段。显式s - 阶段龙格 - 库塔方法可以表示为前向欧拉步长的凸组合，其表达式如下： \[ \begin{cases} y[n] = y^{(s + 1)}_{[n - 1]}\\ y^{(1)}_{[n - 1]} = y_{[n - 1]}\\ y^{(i)}_{[n - 1]} = \sum_{j = 1}^{i - 1} (\alpha_{(i,j)}y^{(j)}_{[n - 1]} + \beta_{(i,j)}\Delta tF^{(j)}_{[n - 1]}) ; i = 2, 3, \cdots, s, s + 1 \end{cases} \] 其中，SSP（强稳定性保持）方法能在前向欧拉方案的有界时间步长\(\Delta t \leq C \cdot \Delta t_{FE}\)下保持强稳定性，这里的\(C\)被称为SSP属性的CFL系数。对于龙格 - 库塔方法，若前向欧拉方法在CFL限制\(\Delta t \leq \Delta t_{FE}\)下是强稳定的，那么当\(\beta_{(i,j)} \geq 0\)时，龙格 - 库塔方法在\(\Delta t \leq C\Delta t_{FE}\)下是SSP的，其中： \[C = \min \left\{\frac{\alpha_{(i,j)}}{\beta_{(i,j)}} : 1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq i - 1, \beta_{(i,j)} \neq 0\right\}\] 为了比较不同计算成本的方法，还引入了缩放或有效CFL系数\(\overline{C}\)，它是通过将方法的CFL系数与右侧评估次数进行缩放得到的。 ##### 多步多阶段方法 考虑显式k - 步s - 阶段多步多阶段方法来计算数值解，其表达式为： \[ \begin{cases} y[n] = y^{(s + 1)}_{[n - 1]}\\ y^{(1)}_{[n - 1]} = y_{[n - 1]}\\ y^{(i)}_{[n - 1]} = \sum_{\ell = 2}^{k} \sum_{j = 1}^{s} (\alpha_{(i,j)}^{[n - \ell]}y^{(j)}_{[n - \ell]} + \beta_{(i,j)}^{[n - \ell]}\Delta tF^{(j)}_{[n - \ell]}) + \sum_{j = 1}^{i - 1} (\alpha_{(i,j)}^{[n - 1]}y^{(j)}_{[n - 1]} + \beta_{(i,j)}^{[n - 1]}\Delta tF^{(j)}_{[n - 1]}) ; i = 2, 3, \cdots, s, s + 1 \end{cases} \] 其中\(F^{(i)}_{[n - \ell]} = f(t_{[n - \ell]} + c_i\Delta t, y^{(i)}_{[n - \ell]})\)。该方法的线性稳定性通过线性标量测试问题\(y'(t) = \lambda y(t), \lambda \in C\)进行分析，应用该方法到测试问题得到\(y_{n + 1} = R(z) y_n\)，其中\(z = \lambda\Delta t\)，\(R(z)\)被称为方法的稳定性函数。若\(\vert R(z) \vert \leq 1\)，则方法是线性稳定的，线性稳定区域定义为\(S = \{z \in C : \vert R(z) \vert \leq 1\}\)。 对于多步多阶段方法，若前向欧拉方法在CFL限制\(\Delta t \leq \Delta t_{FE}\)下是强稳定的，那么当\(\beta_{(i,j)}^{[n - \ell]} \geq 0\)时，该方法在\(\Delta t \leq C\Delta t_{FE}\)下是SSP的，其中： \[C = \min \left\{\frac{\alpha_{(i,j)}^{[n - \ell]}}{\beta_{(i,j)}^{[n - \ell]}} : 1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq i -