有限紧致度量树的逆问题研究

# 有限紧致度量树的逆问题研究 ## 1. 度量树的重建 ### 1.1 整体重建定理 考虑有限紧致度量树 \(T\) 上的薛定谔算子，其接触集为 \(\partial T\)。假设所有内部顶点相关的顶点散射矩阵的高能极限没有零元素。对于 \(T > \text{diam}(T)\)（其中 \(\text{diam}(T)\) 是度量树的直径，即 \(T\) 上任意两点间的最大距离），与边界相关的响应算子 \(R^T\) 能确定该度量树。 一些假设可以被弱化： - 不要求 \(S_v^m(\infty)\) 的所有元素都非零，只需要计算传播时间时用到的元素非零即可。 - 可以使用响应算子的主 \((M_{\partial}-1)\times(M_{\partial}-1)\) 块来代替整个矩阵。利用这个块能确定所选 \(M_{\partial}-1\) 个悬挂顶点中任意两个之间的传播时间，进而重建除与排除的悬挂顶点相连的悬挂边之外的整个树。通过比较与 \(T\) 相关的响应算子的主块和重建子树的响应算子，可计算出最后一条悬挂边的长度以及它应连接的位置。对于拉普拉斯算子，可从 \(M(0):=M(\lambda)|_{\lambda = 0}\) 重建度量树。 ### 1.2 局部重建过程 采用束剥离程序来局部重建度量树的一部分，具体步骤如下： #### 1.2.1 悬挂边的重建 设 \(V^1\) 是 \(\partial T\) 中的任意顶点，响应算子的对角元素 \(R_{V^1,V^1}^T\) 具有如下形式的核： \[r_{V^1,V^1}(t) = -\delta'(t) + 2(S_v^m(\infty))_{22}\delta'(t - 2\ell_1) + H(t)\] 其中 \(\ell_1\) 是从 \(V^1\) 开始的悬挂边 \([x_1, x_2]\) 的长度，\((S_v^m(\infty))_{22}\) 是从最近顶点（端点 \(x_2\) 属于该顶点）的反射系数的高能极限，\(H(t)\) 是某个 \(L_{1,\text{loc}}\) 函数。由此可知，响应算子对角部分的信息能重建所有悬挂边的长度。 #### 1.2.2 束的识别 两个顶点 \(V^i\) 和 \(V^j\) 属于同一束，当且仅当悬挂顶点之间的传播时间等于相应悬挂边长度之和，即 \(T(V^i, V^j) = \ell_i + \ell_j\)，其中 \(\ell_i\) 和 \(\ell_j\) 分别是从 \(V^i\) 和 \(V^j\) 开始的悬挂边的长度。这是度量树中的一个等价关系，树中的所有束就是悬挂边的等价类。 总结可得定理：考虑有限紧致度量树 \(T\) 上的薛定谔算子，在假设 20.5 下，对于 \(T > 2\max_{V^j\in\partial T}\ell_j\)，与边界相关的响应算子 \(R^T\) 能确定树中的所有束。束的重建不仅要确定哪些悬挂边在某个内部顶点相连，还要计算它们的长度，即束被重建为 \(T\) 的度量子树。局部重建束只需要知道略大于最短悬挂边两倍长度的响应算子信息，这可能远小于树的直径。 下面是局部重建过程的 mermaid 流程图： ```mermaid graph TD; A[开始] --> B[重建悬挂边]; B --> C[识别束]; C --> D[结束]; ``` ## 2. 势的重建 假设已经重建了整个度量树或其一个束，目标是恢复悬挂边上的势。 ### 2.1 势重建定理 设 \(V^1\) 是度量树 \(T\) 上的任意悬挂顶点，\(\ell_1\) 是从 \(V^1\) 发出的悬挂边的长度。对于 \(T = 2\ell_1\)，响应算子的对角元素 \(R_{V^1,V^1}^T\) 能完全确定该悬挂边上的势。 ### 2.2 证明过程 - 假设悬挂边 \(E_1 = [x_1, x_2]\) 参数化后，端点 \(x_1\) 对应悬挂顶点 \(V^1\)。为了重建悬挂边上的势，比较 \(T\) 的响应算子的对角元素与半直线 \([x_1, \infty)\) 上具有相同势 \(q\) 的薛定谔算子的（