随机优化方法：解决复杂工程优化问题的利器

### 随机优化方法：解决复杂工程优化问题的利器 在众多工程领域中，常常会遇到一些难以解决的优化问题，这些问题往往是非凸的，无法在合理时间内保证找到全局最优解。因此，我们通常只能满足于找到一个可接受的解决方案。本文将介绍一些用于解决连续非凸约束优化问题的主要随机方法，包括纯随机搜索方法、模拟退火、遗传算法和粒子群优化，同时探讨可接受解的概念以及随机方法的特点。 #### 1. 动机与基本概念 许多工程问题都可以被表述为优化问题，但这些问题往往难以通过解析或传统数值方法解决，尤其是当问题是非凸、非线性和多模态时。我们关注的优化问题可以表述为： \[ \begin{align*} \min_{x} &\quad f_0(x) \\ \text{s.t.} &\quad f_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \cdots, N_c \\ & \quad x \in \mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R}^{n_x} : \underline{x} \leq x \leq \overline{x}\} \end{align*} \] 其中，$f_0 : \mathbb{R}^{n_x} \to \mathbb{R}$ 是我们要最小化的目标函数，$f_i : \mathbb{R}^{n_x} \to \mathbb{R}$ 是约束函数，$x = (x_1, \cdots, x_{n_x})^T$ 是优化变量，$\mathcal{D}$ 是搜索域。 为了处理约束条件，我们引入一个包含惩罚函数的新目标函数： \[ J(x) = f_0(x) + \sum_{i = 1}^{N_c} w_i \max(f_i(x), 0) \] 其中，$N_c$ 是约束的数量，$w_i$ 是权重因子。在大多数实际应用中，选择常数权重因子通常可以得到令人满意的解。此时，解决原问题就相当于解决以下优化问题： \[ \begin{align*} \min_{x} &\quad J(x) \\ \text{s.t.} &\quad x \in \mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R}^{n_x} : \underline{x} \leq x \leq \overline{x}\} \end{align*} \] 我们的目标是找到使成本函数 $J$ 最小化的 $n_x$ 维决策向量 $x_{opt}$。 凸问题有非常高效的求解算法，但非凸优化问题仍然是一个很大的挑战。这是因为对于一般的非线性函数，我们只能从数值评估中获得局部信息，难以确定其全局极值。因此，我们需要寻找可接受的解决方案。 #### 2. 可接受解的概念 对于许多形如上述优化问题，找到目标函数 $J(x)$ 在搜索域 $\mathcal{D}$ 上的精确最小值 $J^*$ 是 NP 难的。在这种情况下，我们引入两种不同的可接受解定义。 ##### 2.1 可接受近似解 设 $\varepsilon > 0$ 是给定的实数。如果 $\hat{J}^* \leq J^* + \varepsilon$，则称 $\hat{J}^*$ 是 $J(x)$ 到精度 $\varepsilon$ 的近似最小值，其中 $J^*$ 是 $J(x)$ 的最小值。集合 \[ \mathcal{E} = \{x \in \mathcal{D} : J(x) \leq J^* + \varepsilon\} \] 被称为可接受近似解的集合。 然而，找到可接受近似解并不能得到保证，因为没有通用的准则来确定一个点 $x \in \mathcal{D}$ 是否属于集合 $\mathcal{E}$。为了克服这个困难，我们引入可接受概率解的概念。 ##### 2.2 可接受概率解 设 $\alpha \in [0, 1]$ 是给定的实数。如果点 $\hat{x}^* \in \mathcal{D}$ 满足 $J(\hat{x}^*) = \hat{J}^*$，且 \[ J^* \leq \hat{J}^*, \quad \text{and} \quad \Pr\{x \in \mathcal{D} : J(x) < \hat{J}^*\} \leq \alpha \] 则称 $\hat{x}^*$ 是可接受概率解，$\hat{J}^*$ 是 $J(x)$ 到水平 $\alpha$ 的可能最小值。 从图中可以看出，$\hat{J}^*$ 被 $J(x)$ 在 $\mathcal{D}$ 上的下确界和 $\mathcal{D} \setminus S$ 上的下确界所界定，其中 $S = \{x \in \mathcal{D} : J(x) < \hat{J}^*\}$ 且 $\Pr(x \in S) \leq \alpha$。因此，当 $\alpha$ 趋近于 0 时，$\hat{J}^*$ 趋近于 $J^*$。随机优化方法能够在合理时间内找到可接受概率解。 #### 3. 随机方法的特点 近几十年来，人们开发了多种随机方法，也称为直接随机搜索方法或元启发式算法，这些方法在解决以前难以或无法解决的问题方面表现出强大的能力。 随机优化方法的特点是在每次迭代中使用随机选择来确定新的候选解。具体来说，随机搜索算法通过重复应用随机转移规则生成候选解序列 $\{x_k\}$，即 \[ x_{k + 1} = A(x_k, \nu), \quad \nu \sim p_{\nu}(v) \] 其中，$A$ 是转移规则，$\nu$ 是具有已知概率密度函数 $p_{\nu}(v)$ 的随机向量。这种生成新点的方式与确定性搜索算法不同，后者可以获得目标函数及其导数的完整信息。 随机搜索具有许多有益的效果，特别是它允许探索整个搜索空间 $\mathcal{D}$，