谱间隙与狄利克雷基态

### 谱间隙与狄利克雷基态 #### 1. 基本概念与初步结论 在研究图的谱性质时，有几个重要的概念和结论需要先了解。首先，对于环（loop）和区间（interval），环的第一个特征值是双重简并的，而区间的第一个特征值是简单的。另外，存在一个特殊的图 \(I_L\) 是唯一的极小化图。 还有一种通过图的手术（surgery of graphs）来获得谱不等式的方法。例如，循环 \(S_{2L}\) 可以通过将 \(\Gamma^2\) 的顶点分割成二度顶点得到。 #### 2. 对称化技术及其应用 对称化技术是一种用于估计标准拉普拉斯算子谱间隙的有效方法。其主要思想是引入一个特殊的变换，将函数从 \(L^2(\Gamma)\) 映射到 \(L^2[0, L]\)，然后比较标准拉普拉斯算子 \(L^{st}(\Gamma)\) 和 \(L^{st}([0, L])\) 的特征值。 具体步骤如下： 1. 设 \(\psi_2\) 是 \(L^{st}(\Gamma)\) 的第一激发态，它是紧致图 \(\Gamma\) 上的连续函数。记 \(\psi_2(x)\) 的最小值点和最大值点分别为 \(x_{min}\) 和 \(x_{max}\)。 2. 在区间 \([0, L]\) 上构造对称化函数 \(\psi^*\)，它是唯一的非递减连续函数，满足 \(\psi^*(0) = \psi_2(x_{min})\)，\(\psi^*(L) = \psi_2(x_{max})\)，并且对于任意 \(t\)，有 \(m(t) := \text{measure} \{x \in \Gamma : \psi_2(x) < t\} = \text{measure} \{s \in [0, L] : \psi^*(s) < t\}\)。 3. 这样构造的 \(\psi^*\) 满足以下两个重要等式： - \(\int_{\Gamma} |\psi_2(x)|^2 dx = \int_{0}^{L} |\psi^*(x)|^2 dx\) - \(0 = \int_{\Gamma} \psi_2(x) dx = \int_{0}^{L} \psi^*(x) dx\) 接下来，我们通过一些公式和不等式来推导谱间隙的估计。定义 \(m'(t) = \sum_{x:\psi_2(x)=t} \frac{1}{|\psi_2'(x)|}\)，这个公式对于所有不等于 \(\psi_2\) 的局部极小值、极大值以及顶点处值的 \(t\) 都成立。 利用柯西 - 施瓦茨不等式，我们可以得到： \(\sum_{x:\psi_2(x)=t} |\psi_2'(x)| \geq n(t)^2 \left(\sum_{x:\psi_2(x)=t} \frac{1}{|\psi_2'(x)|}\right)^{-1} \geq \left(\sum_{x:\psi_2(x)=t} \frac{1}{|\psi_2'(x)|}\right)^{-1} = \frac{1}{l} \frac{1}{m'(t)}\) 进而得到： \(\int_{\Gamma} |\psi_2'(x)|^2 dx \geq \int_{\psi_2(x_{min})}^{\psi_2(x_{max})} \frac{dt}{m'(t)}\) 同样的论证应用到 \(\psi^*\) 上，所有不等式变为等式，最终得到： \(\int_{\Gamma} |\psi_2'(x)|^2 dx \geq \int_{0}^{L} |\psi^{*'}(s)|^2 ds\) 由于函数的范数相等，瑞利商满足以下估计： \(\frac{\int_{\Gamma} |\psi_2'(x)|^2 dx}{\int_{\Gamma} |\psi_2(x)|^2 dx} = \lambda_2(L^{st}(\Gamma)) \geq \frac{\int_{0}^{L} |\psi^{*'}(s)|^2 ds}{\int_{0}^{L} |\psi^*(s)|^2 ds} \geq \lambda_2(L^{st}([0, L]))\) 其中，\(\lambda_2(L^{st}([0, L])) = \left(\frac{\pi}{L}\right)^2\)，由此我们得到了一个关于谱间隙的基本估计，这个估计对于任意紧致有限度量图都成立，只取决于图的总长度 \(L\)。而且