多智能体系统的图拉普拉斯势与李雅普诺夫函数及合作自适应控制

### 多智能体系统的图拉普拉斯势与李雅普诺夫函数及合作自适应控制 在多智能体系统的研究中，图拉普拉斯势和李雅普诺夫函数起着至关重要的作用。通过对图拉普拉斯势和李雅普诺夫函数的研究，我们可以深入分析多智能体系统的一致性和同步问题。 #### 1. 图拉普拉斯势相关引理 - **引理 7.8**：设拉普拉斯矩阵 $L$ 是不可约奇异 $M$ - 矩阵，$x > 0$ 和 $y > 0$ 分别是 $L$ 对应特征值 $\lambda = 0$ 的右和左特征向量，即 $Lx = 0$ 和 $L^Ty = 0$。定义 $P = diag\{p_i\} = diag\{y_i / x_i\}$，$Q = PL + L^TP$，则 $P > 0$ 且 $Q \geq 0$。 - **注 7.1**：当图是强连通时，其拉普拉斯矩阵 $L$ 是不可约奇异 $M$ - 矩阵，且 $rank(L) = N - 1$，$L$ 的零空间维度为 1，$null(L) = span\{1_N\}$。在引理 7.8 中，$x = \alpha 1_N$，$\alpha > 0$，$\alpha \in \mathbb{R}$，引理 7.7 和 7.8 构造李雅普诺夫方程的方法本质相同。 - **引理 7.9**：设有向图是强连通的，其拉普拉斯势 $P_L$ 由 (7.7) 定义，则 $P_L = 0$ 当且仅当多智能体系统达成一致，即 $x_i = x_j$，$\forall i, j = 1, \cdots, N$。 #### 2. 合作调节器问题的李雅普诺夫分析 ##### 2.1 单积分器合作系统的一致性 考虑一组具有标量单积分器动力学的 $N$ 个智能体： $\dot{x}_i = u_i$，$i = 1, \cdots, N$ 标准线性一致性协议为： $u_i = -\sum_{j = 1}^{N} a_{ij}(x_i - x_j)$ 闭环系统可写为 $\dot{X} = -LX$，其中 $X = [x_1, \cdots, x_N]^T$。 下面通过不同类型的图来分析一致性： |图的类型|引理|证明思路| | ---- | ---- | ---- | |无向连通图|引理 7.10|考虑李雅普诺夫函数候选 $V = \sum_{i = 1}^{N} x_i^2 = X^TX$，则 $\dot{V} = 2X^T\dot{X} = -2X^TLX$，由引理 7.1 得 $\dot{V} = -P_L \leq 0$，根据拉萨尔不变性原理，轨迹收敛到最大不变集 $S = \{X | \dot{V} = 0\}$，引理 7.4 表明达成一致。| |平衡且弱连通的有向图|引理 7.11|考虑李雅普诺夫函数候选 $V = \sum_{i = 1}^{N} x_i^2 = X^TX$，则 $\dot{V} = 2X^T\dot{X}