旋转矩阵与平移向量的直观几何解释：一文看懂坐标变换

 参考资源链接：[原理详解_三点解算两个坐标系之间的旋转矩阵和平移向量](https://wenku.csdn.net/doc/6412b723be7fbd1778d49388?spm=1055.2635.3001.10343) # 1. 坐标变换基础 坐标变换是计算机图形学中的一种基本操作，它允许我们从一个坐标系移动或改变图形的位置到另一个坐标系。理解坐标变换的基础，对于图形的渲染、动画制作、以及游戏开发等领域都是至关重要的。本章将介绍坐标变换的基本概念、类型和它们在不同应用场景中的作用。通过这些基础知识，我们将为进一步探索高级的图形变换技术奠定坚实的基础。 # 2. 旋转矩阵的几何原理 ### 2.1 二维空间的旋转矩阵 #### 2.1.1 旋转矩阵的基本定义 在二维空间中，旋转矩阵是一个用于表示二维点旋转的方阵。对于一个点P(x, y)，在逆时针旋转θ角度后，其在新坐标系中的坐标P'(x', y')可以通过旋转矩阵R与原坐标向量V的乘积来获得： \[ R = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \] \[ P' = R \cdot V \] 旋转矩阵的这个定义是基于右手坐标系统，其中逆时针旋转是正方向。如果使用左手坐标系统，正旋转方向则对应顺时针，这时旋转矩阵的正弦项的符号需要取反。 #### 2.1.2 旋转矩阵的几何意义 旋转矩阵不仅描述了数学上的变换，还拥有几何意义。当应用旋转矩阵R时，它表示一个点绕原点逆时针旋转θ角度。这里，矩阵的每一行和每一列都有其对应的几何解释： - 第一行表示x轴方向在新坐标系中的映射。 - 第二行表示y轴方向在新坐标系中的映射。 - 第一列表示旋转后，沿着新x轴（旋转前的x轴）向量的坐标。 - 第二列表示旋转后，沿着新y轴（旋转前的y轴）向量的坐标。 当我们将旋转矩阵应用在任意一个二维向量上时，该向量在新的坐标系下，其实方向和长度保持不变，仅仅是位置和方向发生了改变。 ### 2.2 三维空间的旋转矩阵 #### 2.2.1 三维旋转的表示方法 在三维空间中，旋转矩阵的构建要比二维复杂一些。三维旋转可以围绕任意一个轴进行，但最常见的是绕着三个主要的坐标轴进行旋转，分别是x轴、y轴和z轴。每个轴的旋转矩阵定义如下： \[ R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ 0 & \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix} \] \[ R_y = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & 0 & \sin{\theta} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} \end{bmatrix} \] \[ R_z = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] #### 2.2.2 立体几何中的旋转效果 利用三维旋转矩阵，我们可以模拟三维空间中物体的旋转效果。例如，如果我们有一个立方体模型，且想绕z轴旋转45度，可以将z轴旋转矩阵乘以立方体的每个顶点坐标。 这个旋转效果在三维空间内有三个维度，每一次的旋转都会影响到三个方向上的坐标。旋转矩阵确保在旋转过程中保持了空间的刚体特性，即物体的形状和大小不会因为旋转而发生变化。 ### 2.3 旋转矩阵的性质与计算 #### 2.3.1 旋转矩阵的性质 旋转矩阵是正交矩阵，这意味着它的转置等于它的逆矩阵。这一性质导致了旋转矩阵在乘法运算中具有以下特点： - 可以连续旋转而不改变向量的长度和角度。 - 旋转矩阵相乘会得到新的旋转矩阵。 - 旋转矩阵的行列式总是等于1，因为它们表示的是不改变体积的变换。 #### 2.3.2 旋转矩阵的计算方法 计算旋转矩阵涉及到了三角函数的值。在计算机中，这些三角函数值通常由数学库提供。对于给定的旋转角度θ，可以直接计算出旋转矩阵中的元素值。 例如，如果我们要计算绕z轴旋转θ角度的旋转矩阵，我们可以使用以下的代码片段： ```python import math def rotation_matrix_z(theta): return [[math.cos(theta), -math.sin(theta), 0], [math.sin(theta), math.cos(theta), 0], [0, 0, 1]] theta = math.radians ```