基于高斯过程的白质束配准与群体分析

### 基于高斯过程的白质束配准与群体分析 在神经科学和医学影像领域，白质束的准确配准和群体分析对于理解大脑结构和功能至关重要。本文将介绍一种基于高斯过程（GP）的白质束配准和群体分析方法，该方法不依赖于点到点的对应关系或纤维参数化的方向，具有诸多优势。 #### 白质束的表示与操作 为了量化两个白质束之间的相似性，我们使用向量空间的确定性内积： \[ \langle y_1, y_2 \rangle = \int_{\mathbb{R}^3} y_1(p)y_2(p)dp = \int_{\mathbb{R}^3} y_1^*(p)y_2^*(p)dp \] 这个内积表示两个束的轨迹密度图（TDM）之间的重叠。通过公式（1），我们可以在不进行束之间点到点匹配的情况下计算 $\langle y_1, y_2 \rangle$： \[ \langle y_1, y_2 \rangle = 1^T [C_{f_1f_1}^{-1}]^T \left( \int_{\mathbb{R}^3} C_{f_1}(p)[C_{f_2}(p)]^T dp \right) C_{f_2f_2}^{-1} 1 \] 其中 $f_1$ 和 $f_2$ 是两个束的点。此外，$\langle.,.\rangle$ 诱导出范数 $\|y\|^2 = \langle y, y \rangle$，表示束的质量。当前关于高斯过程的文献表明，我们所介绍的内积空间实际上是一个再生核希尔伯特空间（RKHS），这使得我们能够定义一组基函数，其线性组合可以张成所有的 TDM。 我们提出了一个基于 GP 的框架来表示白质纤维束，并进行三种操作：计算归一化的轨迹密度图、将纤维组合成束以及量化两个束之间的相似性。这些工具是进行白质束配准的基础。 #### 基于 GP 表示的 TDM 的微分同胚束配准 我们的目标是对齐从两个不同受试者获得的两个白质束。给定两个束 $B_1$、$B_2$ 及其对应的 GP 表示的 TDM $y_1$、$y_2$，我们寻找一个密集变换 $s : p \to s(p)$，使得以下能量函数最小化： \[ E(s) = Sim(s) + Reg(s) \] 其中 \[ Sim(s) = 1 - \frac{\langle y_1, y_2 \circ s \rangle^2}{\|y_1\|\|y_2 \circ s\|} \] $Sim(s)$ 是 TDM 相似性度量，$Reg(s)$ 是正则化项。在这个方程中，TDM $y_2$ 通过变换 $s$ 的传输 $y_2 \circ s$ 由操作 $(y_2 \circ s)(p) = y_2(s(p))| jac s(p)|$ 实现。方程（4）可以被视为等同于最小化两个 TDM 图像之间广泛使用的归一化互相关度量。 为了开发一个具有较少参数的微分同胚配准算法，我们使用 LogEuclidean 多仿射技术的变体来最小化方程（4）并获得所需的配准。具体步骤如下： 1. 将 $y_1$ 和 $y_2$ 的定义域划分为体积为 $W$ 的立方块晶格。由于 $y_1$ 和 $y_2$ 具有有限的支撑，我们可以定义一个有限的非相交块集合 $\Gamma = \{\gamma_1, \ldots, \gamma_N\} \subset \mathbb{R}^3$，它完全覆盖两个 TDM。 2. 定义基于块的配准能量： \[ E_{\Gamma}(s) = Sim_{\Gamma}(s) + Reg(s) \] 其中 \[ Sim_{\Gamma}(s) = \sum_{i=1}^N \left( 1 - \frac{\langle y_1, y_2 \circ s \rangle_{\gamma_i}^2}{\|y_1\|_{\gamma_i}\|y_2 \circ s\|_{\gamma_i}} \right) \] 我们定义块内积和其诱导的范数为： \[ \langle y_1, y_2 \rangle_{\gamma} \triangleq \int_{\gamma} y_1^*(p)y_2^*(p)dp \] \[ \|y\|_{\gamma}^2 = \langle y, y \rangle_{\gamma} \] 3. 使用基于块的多仿射框架解决配准问题。对于每个块 $\gamma$，通过最小化以下式子获得仿射配准： \[ A_{\gamma} = \arg\min_{A'} \left( 1 - \frac{\langle y_1, y_2 \circ A' \rangle_{\gamma}^2}{\|y_1\|_{\gamma}\|y_2 \circ A'\|_{\gamma}} \right) \] 4. 使用 LogEuclidean 多仿射框架从一组仿射变换计算密集微分同胚变换 $s$。首先，计算与仿射变换 $A_{\gamma_1}, \ldots, A_{\gamma_N}$ 相关联的速度场 $u$： \[