社会联盟结构下的均衡存在性分析

### 社会联盟结构下的均衡存在性分析 #### 1. 均衡概念介绍 在战略形式博弈的背景下，有多种均衡概念，这些概念之间存在着特定的关系。 - **基本定义**： - 设 ⟨N, S, U⟩ 为一个战略形式博弈，其中 N 是有限的参与者集合，S 是策略空间，U 是支付函数。联盟 c 是参与者的非空子集，联盟结构 C 是可行联盟的集合。 - 策略空间 Sc 是联盟 c 的策略空间限制，策略组合 sc 是策略组合 s 对联盟 c 的限制。 - 若联盟 c 在策略组合 s 处没有有利可图的偏离，则称 s 是 c - 稳定的；若对于联盟结构 C 中的每个联盟 c，s 都是 c - 稳定的，则称 s 是 C - 稳定的。 - **不同均衡类型**： - **超级强均衡**：若策略组合是 P≥1(N) - 稳定的，则为超级强均衡。 - **纳什均衡**：若策略组合是 P = 1(N) - 稳定的，则为纳什均衡，其中 P = 1(N) = {c ⊂ N | |c| = 1}。 - **分区均衡**：若联盟结构 C 是分区的（即对于每个 j ∈ N，存在唯一的联盟 c ∈ C 使得 j ∈ c），且策略组合是 C - 稳定的，则为分区均衡。 - **层状均衡**：若联盟结构 C 是层状的（即对于任意两个联盟 c1, c2 ∈ C，若 c1 ∩ c2 ≠ ∅，则要么 c1 ⊆ c2，要么 c2 ⊆ c1），且策略组合是 C - 稳定的，则为层状均衡。 - **连续均衡**：若存在一条路径 P : j1 - j2 - · · · - j|N|（顶点为参与者），使得对于每个 c ∈ C，c 中的参与者在 P 下依次排序，且策略组合是 C - 稳定的，则为连续均衡。 - **集中均衡**：若参与者位于一个平面上，可行联盟由位于一个圆内的参与者组成，且有一个联盟成员位于圆心，且策略组合是 C - 稳定的，则为集中均衡。 各均衡类型之间的关系如下表所示： | 均衡类型 | 一般资源 | 两种资源 | 两种相同资源 | | ---- | ---- | ---- | ---- | | 分区均衡 | + | + | + | | 层状均衡 | - | + | + | | 连续均衡 | - | - | + | | 集中均衡 | - | - | - | 它们的包含关系为：Cne ⊆ Cpe ⊆ Cle ⊆ Ccoe ⊆ Ccee，且在不同参与者数量条件下有严格包含关系，具体如下： - 当 |N| ≥ 2 时，Cne ⊂ Cpe ⊂ Cle。 - 当 |N| ≥ 3 时，Cle ⊂ Ccoe。 - 当 |N| ≥ 4 时，Ccoe ⊂ Ccee。 - 对于每个 C ∈ Ccee，C ⊆ P≥1(N)。 - 当 |N| ≥ 3 时，P≥1(N) ∉ Ccee。 #### 2. 资源选择博弈 资源选择博弈（RSG）是一个三元组 ⟨N, M, f⟩，其中 N 是参与者集合，M 是资源集合，f 是严格单调递增的成本函数族，且 fi(0) = 0。 - **分配相关定义**： - 分配 a 是一个序列，满足对于每个 i ∈ M，ai ⊆ N；对于不同的 i, i′ ∈ M，ai ∩ ai′ = ∅；且 ∪i∈M ai = N。ai 表示在分配 a 时分配到资源 i 的参与者集合。 - 分配 a 的最大成本是参与者在 a 处承担的最大成本，即 maxi∈M fi(|ai|)。RSG 的最小最大成本 α 是所有分配中最大成本最小的分配的最大成本，即 α = mina∈A maxi∈M fi(|ai|)。 - 资源 i 的配额 qi 是满足 fi(q) ≤ α 的最大整数 q。资