多稳定性的出现与隐藏吸引子的检测方法

### 多稳定性的出现与隐藏吸引子的检测方法 在动力系统的研究中，多稳定性和隐藏吸引子是两个重要的概念。多稳定性指的是系统存在多个稳定状态的现象，而隐藏吸引子则是一类特殊的吸引子，其吸引域不包含任何不稳定平衡点的小邻域。本文将详细介绍隐藏吸引子的相关知识，包括其定义、发现历程以及检测方法。 #### 1. 隐藏吸引子的定义与发现 隐藏吸引子是指吸引域不包含任何不稳定平衡点小邻域的吸引子，与之相对的是自激吸引子，自激吸引子的吸引域可以通过标准程序定位，从平衡点附近不稳定流形上的一点出发，轨迹能够到达吸引子。 隐藏吸引子的研究源于多个实际事件，如1992年、1993年和1999年波音YF - 22、萨博JAS 39鹰狮和奥林匹克航空猎鹰900飞机的坠毁，这些事故被归因于“飞行员诱发振荡”，后来被解释为隐藏吸引子。这些事件刺激了高效控制系统和绝对稳定性理论的研究。 21世纪初，在蔡氏电路中首次发现了混沌隐藏吸引子，随后在许多非线性系统中都发现了隐藏吸引子，包括无平衡点、非双曲平衡点、单稳定平衡点、平衡点曲线、平衡点曲面和多层平衡点的系统。在多层平衡点的系统中，发现了无限多个嵌套共存的不同类型的隐藏吸引子，如极限环、环面和奇怪吸引子。为了描述这类具有无限多个吸引子的系统的稳定性，引入了“巨稳定性”的概念。 #### 2. 检测隐藏吸引子的方法 检测隐藏吸引子并非易事，目前已经发展了多种方法，下面将详细介绍其中几种。 ##### 2.1 同伦与延续方法 同伦与延续方法由Leonov等人提出，该方法基于同伦和延续的思想，具体步骤如下： 1. 考虑一个具有向量非线性的系统： \(\dot{x} = Px + \psi(x), x \in R^n\) 其中\(P\)是一个常数\((n \times n)\)矩阵，\(\psi(x)\)是一个连续向量函数，且\(\psi(0) = 0\)。定义一个矩阵\(K\)，使得矩阵\(P_0 = P + K\)有一对纯虚特征值\(\lambda_{1,2} = \pm i\omega_0\)，其余特征值具有负实部。 2. 将系统重写为： \(\dot{x} = P_0x + \phi(x)\) 其中\(\phi(x) = \psi(x) - Kx\)。 3. 引入一系列小函数\(\phi_0(x), \phi_1(x), \cdots, \phi_m(x)\)，使得相邻函数\(\phi_j(x)\)和\(\phi_{j + 1}(x)\)（\(j = 0, 1, \cdots, m\)）略有不同，\(\phi_m(x)\)是原函数\(\phi(x)\)。由于\(\phi_0(x)\)很小，可以使用谐波线性化方法找到系统的一个稳定非平凡周期解\(x_0(t)\)或起始振荡吸引子\(A_0\)。 4. 通过增加\(j\)，数值延续吸引子\(A_0\)的变换，依次找到吸引子\(A_1, A_2, \cdots, A_m\)，直到找到原系统的吸引子\(A_m\)。 下面以蔡氏系统为例说明该方法的应用： 蔡氏系统的方程为： \(\dot{x} = \alpha[(y - x) - f(x)]\) \(\dot{y} = x - y + z\) \(\dot{z} = - \beta y - \gamma z\) 其中\(f(x) = m_1x + (m_0 - m_1)\tanh(\sigma)\)。 将其重写为向量形式： \(\dot{x} = Px + q\psi(r^*x), x \in R^3\) 引入谐波线性化系数\(k\)，使得矩阵\(P_0 = P + kqr^*\)有一对纯虚特征值\(\lambda_{1,2} = \pm i\omega_0\)和一个负实特征值\(\lambda_3 = - d\)。 然后将系统重写为： \(\dot{x} = P_0x + q\varepsilon\phi(r^*x)\) 通过计算起始频率\(\omega_0\)和谐波线性化系数\(k\)，并依次增加\(\varepsilon\)的值，从\(\varepsilon_1 = 0.1\)到\(\varepsilon_{10} = 1\)，步长为\(0.1\)，根据式\(2.49\)得到第一步的初始条件\(x(0)\)，最终可以定位蔡氏系统的隐藏吸引子。 该方法的流程图如下： ```mermaid graph TD; A[定义系统\(\dot{x} = Px + \psi(x)\)] --> B[定义矩阵\(K\)，得到\(P_0 = P ```